Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

194 4. Funkcje różniczkowalne
Teraz zakładamy, że lim |g(x)| = + ∞. Przyjmujemy, że g ′ (x) > 0 w przedziale
(a,b), więc lim g(x) = − ∞. Ponieważ funkcje f − ˜mg oraz ˜Mg − f są
x→a +
x→a +
rosnące na przedziale (a,c), dla x ∈ (a,c) mamy f(x) − ˜mg(x) < f(c) − ˜mg(c)
oraz ˜Mg(x) − f(x) < ˜Mg(c) − f(c). Ponieważ lim g(x) = − ∞, więc możemy
przyjąć, po ewentualnym zmniejszeniu c, że g(x) < 0 dla x ∈ (a,c).
x→a +
Otrzymujemy więc nierówność podwójną:
˜m +
f(c) − ˜mg(c)
g(x)
< f(x)
g(x) < ˜M + ˜Mg(c) − f(c)
.
g(x)
f(c)−˜mg(c)
Ponieważ lim = 0 = lim , istnieje taka liczba d ∈
x→a + g(x)
g(x)
∈ (a,c), że dla x ∈ (a,d) zachodzi nierówność m < f(x) < M. Konsekwencją
g(x)
f(x)
ostatniego stwierdzenia jest równość lim = G. Dowód został zakończony.
x→a + g(x)
x→a + ˜Mg(c)−f(c)
Dowód tw. 4.19 (o wypukłości funkcji, której pochodna jest niemalejąca).
Konieczność spełnienia warunków 1) i 2) została wykazana przed sformułowaniem
twierdzenia, które udowodniliśmy wcześniej w przypadku funkcji
różniczkowalnych. Teraz nie zakładamy istnienia pochodnej, a jedynie istnienie
pochodnych jednostronnych, nie możemy więc skorzystać z twierdzenia
o wartości średniej i dlatego rozumowanie będzie bardziej skomplikowane.
Wykażemy, że dla dowolnych x,y ∈ P zachodzi nierówność:
f(y) ≥ f(x) + f ′ +(x)(y − x)
oznaczająca, że wykres funkcji f leży nad prawostronną styczną do tego wykresu
poprowadzoną w dowolnym jego punkcie. Niech m < f +(x) ′ oznacza
dowolną liczbę rzeczywistą. Niech z oznacza kres górny zbioru takich liczb
rzeczywistych y ≥ x, że dla każdej liczby t ∈ [x,y] zachodzi nierówność f(t) ≥
≥ f(x) + m(t − x). Mówiąc prościej, rozpatrujemy najdłuższy z przedziałów
[x,y], na których wykres funkcji f znajduje się nad prostą, której współczynnik
kierunkowy m jest mniejszy niż współczynnik kierunkowy prawostronnej stycznej
do tego wykresu poprowadzonej w punkcie (x,f(x)). Prawym końcem tego
przedziału jest liczba z. Ponieważ m < f +(x), ′ więc istnieje taka liczba δ > 0,
że jeśli x < t ≤ x + δ, to f(t)−f(x) > m, więc f(t) ≥ f(x) + m(t − x). Stąd wynika,
że z ≥ x+δ, więc przedział [x,z] nie degeneruje się do punktu. Załóżmy,
t−x
że z nie jest prawym końcem przedziału P. Wiemy, że f(z) ≥ f(x)+m(z −x).
Ponieważ f + ′ (z) ≥ f + ′ (x) > m, więc podobnie jak w przypadku punktu x, istnieje
taka dodatnia liczba η, że jeśli z < t ≤ z + η, to f(t) ≥ f(z) + m(t − z)
i wobec tego f(t) ≥ f(x)+m(z −x)+m(t −z) = f(x)+m(t −x), przeciw te-