Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

12 1. Ciągi nieskończone
zauważono, że stosowanie saletry chilijskiej (nawozy azotowe) zwiększa w istotny
sposób plony. Były też inne zakłócenia „naturalnego” tempa wzrostu ilości
zbóż.
W rękopisie z 1202 r. Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim, znajduje się
następujące zadanie: ile par królików może być spłodzonych przez parę płodnych
królików i jej potomstwo w ciągu roku, jeśli każda para daje w ciągu
miesiąca żywot jednej parze, para staje się płodna po miesiącu, króliki nie zdychają
w ciągu tego roku? Jasne jest, że po miesiącu mamy już dwie pary przy
czym jedna z nich jest płodna, a druga jeszcze nie. Wobec tego po dwóch miesiącach
żyją już trzy pary królików: dwie płodne, jedna jeszcze nie. Po trzech
miesiącach żyje już pięć par królików: trzy płodne, dwie jeszcze nie. Po czterech
miesiącach jest już 8 = 5 + 3 par królików. Kontynuując to rozumowanie,
stwierdzamy po niezbyt długim czasie, że po roku żyje już 377 = 233+144 par
królików. Ciekawym zagadnieniem jest znaleźć wzór na liczbę a n , jeśli a 0 = 1,
a 1 = 2 i a n = a n−1 + a n−2 dla n = 2,3,4,... . Wzór taki został znaleziony
dopiero po kilkuset latach od napisania książki przez Fibonacciego i wygląda
następująco:
(
1+ √ ) n+2 (
5
2 −
1− √ ) n+2
5
2
a n =
√ .
5
Dowód prawdziwości tego wzoru jest prosty i nie wykracza poza program
liceum – łatwa indukcja. Jednak pozostaje pytanie, jak można tego rodzaju
hipotezę sformułować. Jest to pytanie znacznie ważniejsze od wykazania prawdziwości
tego wzoru, jednak na razie nie będziemy się tym zajmować (zob.
zad. 319).
1.2. Definicja ciągu i jego granicy
Przejdziemy teraz do ścisłego zdefiniowania ciągu.
DEFINICJA 1.1 (ciągu). Ciągiem nazywamy dowolną funkcję określoną na
zbiorze złożonym ze wszystkich tych liczb całkowitych, które są większe lub
równe pewnej liczbie całkowitej n 0 . Wartość tej funkcji w punkcie n nazywamy
n-tym wyrazem ciągu.
Symbolem (a n ) oznaczamy ciąg, którego n-tym wyrazem jest a n . Zaczęliśmy
rozdział od ciągu związanego z wielokątami wpisanymi w dany okrąg. W tym
przypadku najmniejszym numerem wyrazu ciągu jest liczba n 0 = 3 (zaczynamy
więc od a 3 ), w następnych przykładach mamy n 0 = 1 (teraz zaczynamy od a 1 ),
następne trzy ciągi rozpoczęliśmy od n 0 = 0. Oczywiście można rozpoczynać
numerację od dowolnej liczby całkowitej, również ujemnej.
Terminy ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny używane będą nie tylko
w przypadku ciągów rozpoczynających się od wyrazu a 0 , również w tym