Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

166 4. Funkcje różniczkowalne
Kontynuując obliczenia otrzymujemy
(g ′ ) ′ (x) = e x − 3 2 · (6 − 2x)(3 − x)2 + 2(6x − x 2 )(3 − x)
(3 − x) 4 =
= e x − 3 2 ·
18
(3 − x) = 1
3 ex −
(1 − x)3.
3
Dla każdego x > 0 mamy e −x/3 > 1 − x , więc jeśli 0 < x < 3, to zachodzi
( )
3 3 (
1
nierówność
) 1− > e
x/3
3
= e x . Z tej nierówności wynika, że dla 0 < x < 3
x
3
zachodzi (g ′ ) ′ (x) < 0, więc na przedziale [0,3] funkcja g ′ jest nierosnąca, więc
dla 0 < x ≤ 3 zachodzi nierówność g ′ (x) ≤ g ′ (0) = 0. W związku z tym, że
funkcja g ma ujemną pochodną na przedziale [0,3], jest ona ściśle malejąca na
tym przedziale, zatem g(x) < g(0) = 0 dla x ∈ (0,3], a to właśnie chcieliśmy
wykazać. Wobec tego – jeśli 0 < x < 3, to 2 ex − 1 − x < x 2 , gdyż w tym
przypadku 2 ( 1 − 3) x > 1.
W przykładzie 4.21 wykazaliśmy, że dla x < 0 zachodzi nierówność e x <
< 1+x+ 1 2 x2 . Stąd wynika, że dla x < 0 zachodzi nierówność 0 < e x −(1+x) <
< 1 2 x2 , zaś dla 3 > x > 0 – nierówność 0 < e x − (1 + x) < x 2 . Stąd już łatwo
wynika, że dla x < 3 zachodzi nierówność 0 ≤ 2 ex − (1 + x) ≤ x 2 , przy czym
równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0. W rozdziale pierwszym
rozważaliśmy, jaką kwotę powinien wypłacić bank osobie, która wpłaciła kwotę
k, jeśli oprocentowanie jest równe 100x% w skali rocznej, a procenty są
doliczane w sposób ciągły. Okazało się, że tą kwotą jest ke x . Jeśli np. x = 0,1,
czyli oprocentowanie w skali rocznej równe jest 10%, to różnica między wzorem
liniowym (wypłacana jest kwota k(1 + x) = 1,1 · k) a dokładnym (wypłacana
jest kwota ke x = k · e 0,1 ) jest mniejsza niż k · 0,1 2 = 0,01 · k. Z nierówności
e x − (1 + x) > 1 2 x2 , która ma miejsce dla liczb x > 0, wynika, że różnica
ta jest większa niż 1 · 2 0,12 · k = 0,005 · k. Oczywiście przy małych kwotach
różnica taka nie ma żadnego znaczenia praktycznego, jednak przy dużych jest
inaczej, bo choć procentowo nie ulega to zmianie, to kwota może być znacząca.
Efekt ten staje się bardziej widoczny, gdy rozpatrywany jest dłuższy okres
czasu, np. 2 lata. Wtedy wzór liniowy daje wypłatę k(1 + 2x), zaś nieliniowy
– wypłatę ke 2x . W przypadku x = 0,1 różnica między tymi kwotami staje się
większa niż k · 0,22 = k · 0,02, co oznacza, że błąd wzrósł w istotny sposób.
2
Wspominaliśmy wcześniej, że podobne rozważania można prowadzić w fizyce
przy dyskusji np. wzoru na długość pręta żelaznego w zależności od jego
temperatury. Prowadzi to do wzoru l(t) = l(t 0 )e λ(t−t0) , gdzie przez l(t) oznaczyliśmy
długość pręta w temperaturze t, zaś λ oznacza współczynnik rozszerzalności
cieplnej (w przypadku żelaza λ ≈ 0,0000115 = 1,15 · 10 −5 ). Jeśli
zmiana temperatury jest niezbyt duża, np. mniejsza niż 50 ◦ C, to wykładnik
jest mniejszy niż 0,00006, więc jego kwadrat jest mniejszy niż 0,0000004, co
oznacza, że błąd, który popełnimy, zastępując e λ(t−t0) przez 1+λ(t−t 0 ), będzie