Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

1.10. Logarytm naturalny 53
( ) ( )
1
x ≤ ln = ln 1 + x . Niech y = x . Wtedy x = y , przy czym
1−x
1−x
1−x 1+y
warunek x < 1 odpowiada warunkowi y > −1. Dla y > −1 mamy więc:
y
1 + y
≤ ln(1 + y) ≤ y. (1.3)
Stąd wynika, że jeśli y > 0, to 1 ≤ ln(1+y) ≤ 1, zaś jeśli −1 < y < 0, to
1+y y
≥ 1. Stąd i z twierdzenia
1
nierówności skierowane są przeciwnie: ≥ ln(1+y)
1+y y
o trzech ciągach wynika, że dla każdego ciągu (y n ) zbieżnego do 0, którego
wyrazy są różne od 0, zachodzi wzór:
ln(1 + y n )
lim = 1. (1.4)
n→∞ y n
Niech lim x n = x i niech x, x 1 ,x 2 ,... będą liczbami dodatnimi. Niech
n→∞
y n = xn−x.
Mamy wtedy ln x x
n − ln x = ln ( )
1 + xn−x
x = ln(1 + yn ) =
= ln(1+yn)
y n
· y n −−−−→ 1 · 0 = 0. Wobec tego z równości lim x n = x wynika
n→∞
n→∞
równość lim ln x n = ln x. Warto może nadmienić, że stwierdzenie to można
uzasadnić inaczej, w sposób bardzo podobny do tego, w jaki wykazaliśmy,
n→∞
że jeśli lim x n = g, to lim
√ k
x
n→∞ n→∞
n
= k√ g. Nie zrobimy tego jednak teraz, gdyż
w rozdziale poświęconym funkcjom ciągłym udowodnimy twierdzenie o ciągłości
funkcji odwrotnej, z którego wynikną bez trudu twierdzenia o ciągłości
pierwiastka i logarytmu. Dowód ciągłości pierwiastka podany w przykładzie
1.3 jest w istocie rzeczy dowodem twierdzenia o ciągłości funkcji odwrotnej,
przeprowadzonym w tym konkretnym przypadku.
Równość (1.4) mówi coś o wielkości logarytmu naturalnego liczb w pobliżu
1, natomiast nie zawiera żadnych informacji o zachowaniu się logarytmów
dużych liczb rzeczywistych.
Z wzorów, które udowodniliśmy w uwadze 1.1, wynika, że jeśli x > 0, to
dla każdej liczby naturalnej k zachodzi nierówność e x > xk+1
, stąd zaś wynika
(k+1)!
od razu, że jeżeli lim x n = + ∞, to lim = 0.
n→∞ n→∞ exp(x n)
Zauważmy, że jeśli (x n ) jest ciągiem liczb dodatnich, to lim x n = + ∞
n→∞
wtedy i tylko wtedy, gdy lim ln x n = + ∞. Jeśli bowiem M jest dowolną liczbą
rzeczywistą i lim x n = + ∞, to dla dostatecznie dużych n mamy x n > e M ,
n→∞
n→∞
zatem ln x n > M, a wobec tego lim ln x n = + ∞. Jeśli M jest liczbą rzeczywistą
i lim ln x n = + ∞, to dla dostatecznie dużych n zachodzi nierówność
n→∞
n→∞
ln x n > M, więc również nierówność x n > e M ≥ 1 + M > M, a wobec tego
lim x n = + ∞.
n→∞
x k n