Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

82 2. Szeregi nieskończone
Dowód. Pokrywa się on właściwie z dowodem zbieżności szeregu
∞∑
(−1) (n−1) 1, znajdującym się na początku tego rozdziału. Niech s n k =
n=1
∑
= k (−1) n a n . Ponieważ z punktu widzenia zbieżności szeregu jest wszystko
n=0
jedno, czy badamy szereg ∑ (−1) n a n , czy też szereg przeciwny − ∑ (−1) n a n =
= ∑ (−1) n (−a n ), możemy przyjąć, iż ciąg (a n ) jest nierosnący i zbieżny do 0.
W szczególności, z tego wynika, że wyrazy ciągu (a n ) są liczbami nieujemnymi.
Podobnie jak poprzednio zachodzą nierówności s 0 ≥ s 2 ≥ s 4 ≥ ... oraz
s 1 ≤ s 3 ≤ s 5 ≤ .... Wobec tego obydwa ciągi (s 2n ) oraz (s 2n+1 ) mają granice.
Granica ciągu (s 2n ) nie jest większa niż którykolwiek wyraz tego ciągu, gdyż jego
wyrazy nie rosną w żadnym momencie (mogą jedynie maleć lub zachowywać
swą wartość przez jakiś czas). Granica ciągu niemalejącego (s 2n+1 ) nie może
być mniejsza od żadnego jego wyrazu. s 2n −s 2n+1 = a 2n+1 −−−→
n→∞
0, zatem granice
obu tych ciągów są równe. Stąd wynika, że wspólna granica ciągów (s 2n )
i (s 2n+1 ) jest granicą ciągu (s n ). Mamy też a 0 = s 0 ≥ lim s n ≥ s 1 = a 0 − a 1 ,
n→∞
wobec tego granica lim s n jest skończona, a to oznacza, że szereg ∑ (−1) n a n
n→∞
jest zbieżny. Dowód został zakończony.
Wniosek 2.16 (z dowodu kryterium Leibniza). Jeśli ciąg (a n ) jest nierosnący
i ma granicę 0, to szereg ∑ (−1) n a n jest zbieżny i dla każdej liczby
naturalnej k zachodzi nierówność:
a 0 − a 1 + · · · + a 2k−2 − a 2k−1 + a 2k =
∞∑
= s 2k ≥ (−1) n a n ≥ s 2k+1 = a 0 − a 1 + · · · + a 2k − a 2k+1 .
n=0
W poprzednim rozdziale (tw. 1.19) sformułowany został następujący warunek
Cauchy’ego zbieżności ciągu: dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba
naturalna n ε , że jeśli k,l > n ε , to |s k − s l | < ε (wC). Jest on równoważny
istnieniu skończonej granicy ciągu. Wobec tego można sformułować kolejne
twierdzenie.
TWIERDZENIE 2.17 (warunek Cauchy’ego zbieżności szeregu). Dla każdego
ε > 0 istnieje taka liczba naturalna n ε , że: jeśli l > k > n ε , m = l − k, to
|s k − s l | = |a k+1 + a k+2 + · · · + a k+m | < ε. (wC)
Zwykle jest on podawany na początku rozdziału o szeregach, jednak my
zamierzamy korzystać zeń dopiero teraz. Zaczniemy od definicji.
DEFINICJA 2.18 (szeregu bezwzględnie zbieżnego i zbieżnego warunkowo).
Szereg ∑ a n nazywany jest bezwzględnie zbieżnym wtedy i tylko wtedy, gdy
szereg ∑ |a n | jest zbieżny, tzn. gdy ∑ |a n | < + ∞. Jeśli szereg ∑ a n jest