Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

2.7. Zadania 97
123. Niech s 0 = 1 − 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + ...,
2 4 3 6 8 5 10 12 7 14 16
s 1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...,
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
s 2 = 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + ....
3 2 5 7 4 9 11 6 13 15 8
Wykazać, że s 2 = 3s 2 1 oraz s 1 = 2s 0 .
Rezultat ten pokazuje, jakie zmiany mogą nastąpić w wyniku zmiany kolejności
sumowania wyrazów szeregu zbieżnego, ale nie bezwzględnie. B. Riemann
wykazał, że zmiana kolejności sumowania nieskończonego może prowadzić
do dowolnej zmiany sumy! Może też doprowadzić do szeregu rozbieżnego, którego
suma jest nieskończona, lub do szeregu, którego ciąg sum częściowych
w ogóle nie ma granicy. Oczywiście uwagi te nie dotyczą szeregów bezwzględnie
zbieżnych, w tym szeregów o wyrazach dodatnich.
124. Wykazać, że szereg −1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 1 +
2 3 4 6 5 8 10 12 7 14 16
1
+ 1 − 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + · · · jest rozbieżny, dokładniej, że
18 20 9 22 24 26 28 30 11 32
jego suma równa jest + ∞: w szeregu występują odwrotności wszystkich liczb
naturalnych, nieparzystych ze znakiem −, parzystych ze znakiem +, po k-tym
minusie następuje k plusów, po nich następny minus, a więc ten szereg ma
takie same wyrazy jak szereg zbieżny −1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = ∑ ∞ (−1) n 1,
2 3 4 5 n
widzimy więc, że zmiana kolejności sumowania może spowodować, że z szeregu
zbieżnego otrzymamy szereg o sumie nieskończonej.
n=1