Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

126 3. Funkcje ciągłe
TWIERDZENIE 3.31 (o wypukłości funkcji ciągłej). Funkcja f ciągła
w każdym punkcie zbioru wypukłego P jest wypukła wtedy i tylko wtedy,
gdy dla dowolnych x,y ∈ P zachodzi nierówność f ( )
x+y
2 ≤
f(x)+f(y)
; ściśle
wypukła, gdy ta nierówność jest ostra w każdym przypadku, w którym
2
x ≠ y.
Dowód. Jeśli f jest wypukła, to przyjmując w definicji wypukłości t = 1,
2
otrzymujemy warunek podany w tym twierdzeniu, co kończy dowód konieczności
spełnienia tego warunku.
Zajmiemy się teraz dowodem w „drugą” stronę. Niech x,y będą dowolnymi
punktami zbioru P. Mamy f ( )
x+y
2 ≤
f(x)+f(y)
. Ponieważ nierówność ta zachodzi
dla dowolnych punktów x,y zbioru P, więc ( możemy ) zastąpić punkt y
2
środkiem odcinka łączącego punkty x,y. Mamy 1 2 x +
x+y
2 =
3
x + 1 y. Wobec
4 4
tego mamy też:
( 3
f
4 x + 1 )
4 y ≤ 1 (
f(x) + f ( x + y) ) ≤ 1 2 2 2
= 3 4 f(x) + 1 4 f(y).
(
f(x) +
)
f(x) + f(y)
=
2
Wykazaliśmy, że nierówność definiująca wypukłość ma miejsce w przypadku
t = 3 x+y
. Stosując to samo rozumowanie do punktów oraz y, otrzymujemy
4 2
nierówność f ( 1
x + 3y) ≤ 1f(x) + 3 f(y), a więc nierówność z definicji wypukłości
w przypadku t = 1. Rozważając teraz kolejno pary punktów x i 3x+ 1y,
4 4 4
4 4 4 4
3
x+ 1y i 1(x+y), 1(x+y) i 1x+ 3y oraz 1x+ 3 y i y, otrzymujemy nierówność
4 4 2 2 4 4 4 4
kolejno dla t = 7, t = 5, t = 3 i t = 1 . Otrzymaliśmy nierówność dla 7 wartości
t: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . W taki sam sposób możemy otrzymać nierówność
8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8
w przypadku t = k , potem w przypadku t = k itd. Teraz skorzystamy z ciągłości
funkcji f. Każda liczba t ∈ (0,1) jest granicą ciągu (t n ) liczb postaci
16 32
k
∈ (0,1). Dla tych liczb nierówność jest już udowodniona. Mamy więc:
2 m
f (t n x + (1 − t n )y) ≤ t n f(x) + (1 − t n )f(y).
Przechodząc do granicy (wolno, gdyż f jest ciągła w każdym punkcie, w szczególności
w tx + (1 − t)y ), otrzymujemy nierówność:
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y),
a to kończy dowód wypukłości funkcji f.
Należy jeszcze wykazać, jeśli dla x ≠ y zachodzi f ( )
x+y
2 <
f(x)+f(y)
, to f
2
jest ściśle wypukła. Załóżmy, że tak nie jest. Wobec tego:
f(tx + (1 − t)y) = tf(x) + (1 − t)f(y)