Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

1.11. Funkcje trygonometryczne 59
Rysunek 1.3. Oszacowanie sinusa kąta ostrego
2 · ∣∣ s−t∣ · 1 = |s − t| dla dowolnych liczb rzeczywistych s, t. Analogicznie
2
dowodzimy, że |cos s − cos t| ≤ |s − t|.
TWIERDZENIE 1.52 (o szybkości zmian sinusa i kosinusa). Dla dowolnych
liczb rzeczywistych s, t zachodzą nierówności
|sin s − sint| ≤ |s − t| oraz |cos s − cos t| ≤ |s − t|.
TWIERDZENIE 1.53 (o ciągłości sinusa i kosinusa). Jeśli lim t n = t, to
n→∞
zachodzą równości lim sin t n = sin t oraz lim cos t n = cos t , czyli sinus i kosinus
są funkcjami ciągłymi – dowód wynika z twierdzenia o trzech ciągach
n→∞ n→∞
i tw. 1.52.
TWIERDZENIE 1.54 (o przybliżaniu sinusa małego kąta).
sin t
Jeśli lim t n = 0 i t n ≠ 0 dla każdego n, to lim n
n→∞ n→∞ t n
= 1.
Dowód. Ponieważ sin(−t)
−t
= sin t
t
, można zakładać, iż t n > 0 dla każdego n.
Ponieważ lim
n→∞
t n = 0, dla dostatecznie dużych n mamy |t n | < 1, co w połącze-