Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

148 4. Funkcje różniczkowalne
TWIERDZENIE 4.5 (o pochodnej funkcji odwrotnej). Załóżmy, że funkcja
f jest różniczkowalna w punkcie p, że f ′ (p) ≠ 0, że funkcja f ma funkcję
odwrotną oraz że funkcja f −1 odwrotna do f jest ciągła w punkcie q =
f(p). Wtedy funkcja f −1 jest różniczkowalna w punkcie q i zachodzi wzór
(f −1 ) ′ (q) = 1
f ′ (p) . ×
Wzór na pochodną funkcji odwrotnej zapisujemy też tak: (f −1 ) ′ (f(p)) =
= 1 lub tak: (f −1 ) ′ 1
dy
(q) = . Piszemy też = dx,
oznaczywszy
f ′ (p) f ′ (f −1 (q)) dx dy
uprzednio y = f(x). Ten ostatni zapis, zwłaszcza w połączeniu z wzorem
dz
= dz dy
dy
sugeruje, że symbol można traktować jak ułamek. Trzeba jednak
uważać, bo nie oznacza on ułamka, lecz pochodną i można posługiwać się
dx dy dx dx
analogiami z ilorazem jedynie w zakresie dopuszczonym podawanymi twierdzeniami.
Można np. napisać wzór dg + dh = d(g+h) – oznacza on, że pochodna
sumy dwu funkcji względem zmiennej x jest równa sumie ich pochodnych
dx dx dx
względem tej samej zmiennej x.
Natomiast wzoru df + dg = df·dx+dg·dy napisać nie można, np. dlatego
dy dx dy·dx
że jego prawa strona nie ma sensu, nie jest zdefiniowana. Później rozważać
będziemy pochodne wyższych rzędów i tam sytuacja będzie jeszcze bardziej
skomplikowana.
TWIERDZENIE 4.6 (o pochodnej szeregu potęgowego). Jeśli szereg potęgowy
∞ a n (x−x 0 ) n ma dodatni promień zbieżności, to wewnątrz
∑
przedziału
n=0
zbieżności suma tego szeregu jest funkcją różniczkowalną i zachodzi wzór:
(
∑ ∞
) ′
a n (x − x 0 ) n =
n=0
∞∑
na n (x − x 0 ) n−1 . ×
n=1
Twierdzenie to udowodnimy później. Wypada jednak przestrzec, że szeregów
na ogół nie wolno różniczkować w taki sposób, jak się różniczkuje
sumy skończone. Niemiec K. Weierstrass wykazał, że np. suma szeregu
∞∑
1
cos(7 n πx) jest funkcją ciągłą na całej prostej i nie ma skończonej po-
2 n
chodnej w żadnym punkcie, chociaż każdy wyraz tego szeregu ma pochodną.
Problemu, kiedy i jakie szeregi wolno różniczkować, nie będziemy omawiać,
bowiem nie jest to konieczne w przypadku studentów ekonomii (inaczej niż
w przypadku studentów matematyki).
Pokażemy teraz, jak podane przed chwilą twierdzenia można stosować.
Przykład 4.9. Znajdziemy pochodną funkcji kosinus. Mamy cos x =
= sin ( π
2 − x) . Skorzystamy z wzoru otrzymanego w przykładzie pierwszym:
n=1