Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

42 1. Ciągi nieskończone
liczby dodatniej q zachodzi równość f( p x) = q (f(x))p/q . W szczególności ma
to miejsce dla x = 1, a to oznacza, że f( p ) = q (f(1))p/q = e p/q = exp( p ). Wykazaliśmy
zatem, że funkcja f pokrywa się z funkcją exp na zbiorze wszystkich
q
liczb wymiernych.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej x, istnieje ciąg liczb wymiernych (w n ),
którego granicą jest x. Wobec tego, dzięki ciągłości funkcji f i funkcji exp
możemy napisać: f(x) = lim f(w n ) = lim exp(w n ) = exp(x) 8 . Dowód został
n→∞ n→∞
zakończony.
TWIERDZENIE 1.38 ( o zbiorze wartości funkcji wykładniczej exp). Dla
każdej liczby rzeczywistej y > 0 istnieje liczba x, taka że y = e x =
= exp(x).
Dowód. Z własności ciągu geometrycznego wynika, że lim e n = +∞ oraz
n→∞
lim
n→∞ e−n = 0. Stąd wynika, że istnieje taka liczba naturalna n, że e −n < y < e n .
Niech c = e −n , d = e n . Są dwie możliwości: exp ( ) (
c+d
2 ≤ y, exp c+d
)
2 > y.
W pierwszym przypadku przyjmujemy: c 1 = c+d,
d 2 1 = d, w drugim przypadku:
c 1 = c, d 1 = c+d.
W obu przypadkach otrzymujemy przedział [c 2 1,d 1 ] dwa
razy krótszy niż [c,d], zawarty w [c,d], przy czym exp(c 1 ) ≤ y ≤ exp(d 1 ).
W identyczny sposób z przedziału [c 1 ,d 1 ] otrzymujemy dwa razy krótszy od
niego przedział [c 2 ,d 2 ], zawarty w przedziale [c 1 ,d 1 ], przy czym exp(c 2 ) ≤
y ≤ exp(d 2 ). Kontynuując ten proces, definiujemy takie ciągi (c n ) i (d n ), że
d n − c n = d−c , dla każdego n zachodzą nierówności c
2 n n ≤ c n+1 oraz d n ≥
d n+1 , przy czym exp(c n ) ≤ y ≤ exp(d n ). Oczywiście w tej sytuacji ciągi (c n )
i (d n ) mają wspólną granicę skończoną, którą oznaczymy przez g. Wobec tego
exp(g) = lim exp(c n ) ≤ y oraz exp(g) = lim exp(d n ) ≥ y. Z tych dwu
n→∞ n→∞
nierówności wynika, że exp(g) = y. Dowód został zakończony.
TWIERDZENIE 1.39 ( o monotoniczności funkcji wykładniczej). Funkcja
exp jest ściśle rosnąca, tzn.:
jeśli x < y, to exp(x) < exp(y).
Dowód. Mamy exp(y) = exp(y − x) · exp(x) > (1 + y − x) · exp(x) >
> exp(x).
8 Autorowi nie udało się ustalić, jak obecnie w szkołach definiowana jest potęga o wykładniku niewymiernym,
zresztą to może zależeć od nauczyciela, podręcznika i innych czynników, „podejrzewa”,
że większość maturzystów nie potrafi powtórzyć żadnej definicji. W istocie rzeczy wszystkie definicje
w jawnej lub niejawnej formie muszą odwoływać się do ciągłości i określenia wartości funkcji
w przypadku argumentów wymiernych. Jedna z możliwości ominięcia tej długiej drogi to przyjęcie,
że e x = lim
n→∞
( 1 +
x
n) n .