Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

190 4. Funkcje różniczkowalne
Niech f(x) = sin x − ∞ ∑
(−1)
∑
n
(2n+1)! x2n+1 i g(x) = cos x − ∞
n=0
n=0
(−1) n
(2n)! x2n , więc f ′ (x) =
= g(x) oraz g ′ (x) = −f(x) dla każdej liczby rzeczywistej x. Stąd wynika, że
dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi równość:
(
f(x) 2 + g(x) 2) ′
= 2f(x)f ′ (x) + 2g(x)g ′ (x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(−f ′ (x)) = 0,
zatem funkcja f(x) 2 + g(x) 2 jest stała, więc dla każdego x ∈ R zachodzi równość:
f(x) 2 + g(x) 2 = f(0) 2 + g(0) 2 = 0,
a to oznacza, że wzory f(x) = 0 i g(x) = 0 są prawdziwe dla każdej liczby
rzeczywistej x. Właśnie to chcieliśmy wykazać.
Metoda, którą przedstawiliśmy, polegała na znalezieniu związku między
funkcją i jej pochodną, następnie wykazaniu, że funkcji, dla których ma miejsce
uzyskana zależność, jest niewiele (tu korzystaliśmy z tego, że funkcja o zerowej
pochodnej jest stała na przedziale). Opis tego rodzaju postępowania to temat
na osobny wykład pod nazwą równania różniczkowe.
4.6. Asymptoty
Zdarza się, że funkcja „zbliża” się nieograniczenie do pewnej prostej, np.
funkcja 1 zbliża się nieograniczenie do osi poziomej układu współrzędnych.
x
Podobnie jest w przypadku niektórych innych funkcji, np. ilorazu wielomianu
przez wielomian stopnia o 1 mniejszego, takiego samego lub większego, z tym,
że prosta, do której wykres się zbliża, nie musi być wtedy pozioma. Mówimy
wtedy o asymptotach.
lim
x→+ ∞
DEFINICJA 4.23 (asymptoty).
1. Asymptotą funkcji f, określonej na pewnej półprostej postaci
(a,+∞), przy x −→ + ∞ jest prosta o równaniu y = ax + b, jeśli
(f(x) − ax − b) = 0. Jeśli a = 0, to mówimy o asymptocie poziomej,
w przypadku a ≠ 0 – o asymptocie ukośnej.
2. Jeśli funkcja f określona jest na przedziale postaci (a,b), gdzie b < + ∞
i limf(x) = + ∞ lub lim f(x) = − ∞, to mówimy, że prosta x = b jest
x→b x→b
lewostronną asymptotą pionową przy x −→ b − .
Analogicznie definiujemy asymptoty przy x −→ − ∞ oraz przy x −→ a + .
Z definicji wynika od razu, że jeśli prosta y = ax+b jest asymptotą funkcji f
f(x)
przy x −→ + ∞ lub przy x −→ − ∞, to a = lim i b = lim (f(x) − ax).
x→∞ x x→∞
Jeśli istnieje lim
x→∞
f ′ (x), to na mocy twierdzenia de l’Hospitala zachodzi równość
lim
x→∞
f ′ (x) = lim
x→∞
f(x)
x .