Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

178 4. Funkcje różniczkowalne
Niech h(x) = xg(x) = ln(1 + x) + xln ( 1 + x 2)
− x. Obliczamy pochodną
h ′ (x) = 1 (1
1 + x + ln + x )
+
2
x
2
1 + x 2
− 1 =
x
2 + x − x (1
1 + x + ln + x )
.
2
Teraz skorzystamy z tego, że dla t > 0 zachodzi nierówność ln(1 + t) > t
1+t
(przykład 4.19). Z tej nierówności wynika, że:
h ′ (x) >
x
2 + x − x x
1 + x + 2
1 + x 2
= 2x
2 + x − x
1 + x = x 2
(2 + x)(1 + x) > 0.
Wykazaliśmy, że h ′ (x) > 0 dla x > 0. Wobec tego funkcja h jest ściśle
rosnąca na [0, ∞), a ponieważ h(0) = 0, więc 0 < h(x) = xg(x) dla x > 0.
Stąd wynika, że g(x) > 0. W ten sposób udowodniliśmy drugą nierówność.
Oczywiście ten ostatni przykład jest trudniejszy od zadań, które pojawiają
się na egzaminach. Jednak warto czasem zapoznać się z czymś trudniejszym,
by potem bez trudu rozwiązać łatwiejsze zadanie. Warto też porównać to rozumowanie
z przedstawionym w rozdziale pierwszym – to ułatwi pogodzenie się
z pochodnymi. One naprawdę ułatwiają szacowanie, badanie funkcji. Jednocześnie
należy zdać sobie sprawę z tego, że człowiek ma tu wiele do zrobienia,
programy komputerowe, na razie przynajmniej, jeszcze nie wymnażają funkcji
przez odpowiednie wyrażenia, nie analizują odpowiedniego jej fragmentu itp.
W rezultacie – wielu problemów bez udziału człowieka nie są w stanie rozwiązać,
ale użytkownik sprzętu elektronicznego musi rozumieć, co z jego pomocą
można zrobić. Bez zrozumienia nie ma szans na dobre rezultaty, z wyjątkiem
tych, które autor programu przewidział.
4.5. Szeregi potęgowe II
Wiele funkcji można przedstawiać w postaci sum szeregów potęgowych.
Udało nam się już przedstawić w takiej postaci funkcję wykładniczą. W tym
punkcie przekonamy się, że nie jest ona żadnym wyjątkiem – praktycznie
wszystkie funkcje, które są zdefiniowane „za pomocą jednego wzoru”, można
tak zapisać, co ułatwia w licznych przypadkach poznanie ich własności.
Z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego wynika, że wewnątrz dziedziny
mają one skończoną pochodną i ta pochodna jest również sumą szeregu
potęgowego, więc i ona ma skończoną pochodną wewnątrz swej dziedziny. Zaczniemy
od logarytmu naturalnego.
Przykład 4.42. Udowodnimy, że:
ln(1 + x) =
∞∑
(−1) n−1 1 n xn = x − 1 2 x2 + 1 3 x3 − 1 4 x4 + ...
n=1