Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

2.5. Szeregi o wyrazach dowolnych 85
Dowód 1 . Niech s a n = a 0 + a 1 + · · · + a n , s b n = b 0 + b 1 + · · · + b n ,
s c n = c 0 + c 1 + · · · + c n = ∑ a i b j .
i+j≤n
Wiemy, że istnieją skończone granice lim s a n = A oraz lim s b n = B. Mamy
n→∞ n→∞
wykazać, że granicą ciągu (s c n) jest AB. Oczywiście jest wszystko jedno, o
którym szeregu założymy, że jest bezwzględnie zbieżny. Przyjmijmy, że jest to
szereg ∑ a n . Zauważmy, że:
s c n = ∑
Wobec tego:
i+j≤n
a i b j = a 0 (b 0 + b 1 + · · · + b n ) + a 1 (b 0 + b 1 + · · · + b n−1 )+
+ a 2 (b 0 + b 1 + · · · + b n−2 ) + · · · + a n b 0 =
= a 0 s b n + a 1s b n−1 + a 2s b n−2 + · · · + a ns b 0 .
s a ns b n − s c n = a 0 s b n + a 1 s b n + a 2 s b n + · · · + a n s b n − s c n =
(
= a 1 s
b
n − ) ( sb n−1 + a2 s
b
n − ) ( sb n−2 + · · · + an s
b
n − 0) sb .
Ponieważ szeregi ∑ |a n | oraz ∑ b n są zbieżne, więc ich ciągi sum częściowych
są ograniczone. Oznacza to, że istnieje taka liczba M > 0, że dla każdego m
prawdziwe są nierówności:
|a 0 | + |a 1 | + · · · + |a m | ≤ M i |b 0 + b 1 + · · · + b m | ≤ M.
Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Ze zbieżności szeregów ∑ |a n | i ∑ b n
wynika, że spełniają one warunek Cauchy’ego, więc istnieje taka liczba naturalna
n ε , że jeśli k > m > n ε , to:
oraz
∞∑
n=n ε+1
|s b k − s b m| < ε
4M ,
|a n | = |a nε+1| + |a nε+2| + · · · < ε
8M
∣ ∣∣∣∣ ∑ ∞ ∞∑
a n · b n − s a m · sb m
∣ < ε 2 .
n=0
n=0
Ostatnia nierówność wynika z tego, że granicą iloczynu ciągów jest iloczyn ich
granic. Wobec tego dla m > 2n ε mamy:
1 Może być za „trudny” lub raczej za długi dla wielu studentów i na egzaminie nie będzie wymagany,
jednak warto się trochę pomęczyć – jeśli się uda zrozumieć, to na pewno można będzie szybciej
pojąć wiele innych twierdzeń niezbędnych do zdania egzaminu!