Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

86 2. Szeregi nieskończone
∞∑ ∞∑
∣ a n · b n − s c ∞∑ ∞∑
m∣ ≤ ∣ a n · b n − s a m · ∣
sb m∣ + ∣s a m sb m − sc m∣ <
n=0
n=0
n=0
n=0
< ε 2 + |a 1| · |s b m − s b m−1|+|a 2 | · |s b m − s b m−2|+··· + |a nε | · |s b m − s b n−n ε
|+
+ |a nε+1| · |s b m − sb m−n |+|a ε−1 n ε+2| · |s b m − sb m−n |+···+|a ε−2 m| · |s b m − sb 0 | ≤
≤ ε 2 + (|a ε
1|+|a 2 |+···+|a nε |) ·
4M + (|a n ε+1|+|a nε+2|+···+|a m |) ·2M ≤
≤ ε 2 + M · ε
4M + ε ·2M = ε.
8M
∑
Z definicji granicy ciągu wynika, że lim
m→∞ sc n = ∞ ∞∑
a n b n .
n=0 n=0
Pozostaje jeszcze zauważyć, że jeśli oba szeregi ∑ a n i ∑ b n są bezwzględnie
zbieżne, to również szereg ∑ c n jest bezwzględnie zbieżny. Wynika to natychmiast
z już udowodnionej części twierdzenia i warunku Cauchy’ego.
Czytelnik może się przekonać, że istnieją szeregi zbieżne ∑ a n i ∑ b n , dla
których szereg ∑ c n jest rozbieżny. Wystarczy przyjąć a n = b n = (−1) n−1 √ 1
n
i przekonać się, że w tym przypadku ciąg (c n ) nie jest zbieżny do 0, więc
szereg ∑ c n jest rozbieżny. Z drugiej strony, jeśli szeregi ∑ a n , ∑ b n i ∑ c n
∑
są zbieżne, to ∞ ∑
c n = ∞ ∞∑
a n · b n – nie podamy dowodu tego twierdzenia,
n=0
n=0
n=0
gdyż nie będziemy z niego korzystać. Opisane twierdzenia wskazują na to, że
zaproponowana przez Cauchy’ego 2 kolejność sumowania iloczynów a i b j , jest
właściwa.
DEFINICJA 2.22 (iloczynu szeregów). Jeśli dla każdej liczby naturalnej m
zachodzi równość:
c m = ∑ m∑
a i b j = a i b m−i ,
i+j=m
∑
to szereg ∞ ∑
c n nazywany jest iloczynem Cauchy’ego szeregów ∞ ∑
a n i ∞ b n .
n=0
Przykład 2.9. Niech x będzie dowolną liczbę rzeczywistą i
i=0
n=0
n=0
∞
s(x) = x − x3
3! + x5
5! − x7
7! + · · · = ∑
(−1) n x 2n+1
(2n + 1)! .
Najpierw wykażemy, że szereg definiujący s(x) jest bezwzględnie zbieżny.
Jest to oczywiste w przypadku x = 0 – wtedy wszystkie wyrazy szeregu są
zerami. Załóżmy więc, że x ≠ 0. Stosujemy kryterium ilorazowe d’Alemberta
2 A. Cauchy udowodnił twierdzenie o mnożeniu szeregów w przypadku bezwzględnej zbieżności
obydwóch szeregów, Maertens osłabił założenie twierdzenia.
n=0