Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

52 1. Ciągi nieskończone
e − ( )
1 + 1 998
998 ≥
1
. W istocie jest jeszcze gorzej, gdyż dla n ≥ 6 mamy
( 1 + n) 1 n
1000
≥
5
, więc e − ( )
1 + 1 n
2 n ≥
2,5
= 5 . W takim razie na
2(n+2) 4(n+2)
pewno e − ( )
1 + 1 1248
1248 ≥
1
, wobec tego liczba ( 1 + 1 1248
1000 1248)
ma na trzecim
miejscu po przecinku inną cyfrę niż liczba e. Widać więc, że znajdowanie
przybliżeń dziesiętnych liczby e za pomocą ciągu (( 1 + n) 1 n )
nie ma sensu.
Na zakończenie dodać wypada, że w dalszej części nauczymy się uzyskiwać
tego rodzaju oszacowania znacznie prościej, ale wymaga to rozwinięcia
teorii, która znalazła wiele zastosowań w różnych dziedzinach wiedzy. Porównanie
wysiłku, jaki trzeba włożyć w uzyskanie konkretnych rezultatów „gołymi
rękoma”, jak to właśnie uczyniliśmy, z nakładem pracy człowieka znającego rachunek
różniczkowy, ułatwi właściwą ocenę tego narzędzia.
1.10. Logarytm naturalny
Poprzednio udowodniliśmy, że zbiór wartości funkcji wykładniczej o podstawie
e składa się ze wszystkich liczb dodatnich. Pozwala to na wprowadzenie
definicji logarytmu o podstawie e.
DEFINICJA 1.42 (logarytmu naturalnego). Logarytmem naturalnym dodatniej
liczby rzeczywistej y nazywana jest liczba rzeczywista x, dla której
zachodzi równość: y = e x . Piszemy x = ln y.
Ponieważ z nierówności x 1 < x 2 wynika nierówność e x1 < e x2 , funkcja
logarytm jest dobrze zdefiniowana: liczbie y przypisujemy dokładnie jedną
liczbę x, co więcej funkcja logarytm jest ściśle rosnąca, tj. logarytm większej
liczby jest większy niż logarytm liczby mniejszej.
Ponieważ e x1 · e x2 = e x1+x2 , więc ln(y 1 · y 2 ) = ln y 1 + ln y 2 .
Potęgę o dowolnej podstawie a > 0 można zdefiniować np. tak: e x ln a =
exp (xln a) . Stąd od razu wynika, że ln (a x ) = xln a. Z definicji i z własności
funkcji wykładniczej o podstawie e natychmiast wynika, że:
a x1+x2 = a x1 · a x2 oraz (a x1 ) x2 = exp (x 2 ln a x1 ) = exp (x 2 x 1 ln a) = a x1x2 .
Ten krótki przegląd własności logarytmu zakończymy pokazaniem kilku
nierówności. Wykazaliśmy wcześniej, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi
nierówność 1 + x ≥ e x . Po zlogarytmowaniu otrzymujemy ln(1 + x) ≤ x,
oczywiście tylko dla x > −1, liczba 1+x musi bowiem być dodatnia, by w ogóle
można było mówić o jej logarytmie. Dla x < 1 zachodzi udowodniona wcześniej
(lemat 1.34) nierówność e x ≤ 1 . Zlogarytmowawszy ją, otrzymujemy
1−x