Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

4.3. Badanie funkcji za pomocą pochodnych, wypukłość 169
w pierwszym przypadku. W drugim przypadku z tego, że:
f ′ − (x) ≥ D x(x − h) =
f(x − h) − f(x)
.
−h
Wykazane twierdzenie oznacza, że pochodna różniczkowalnej funkcji wypukłej
jest niemalejąca. Wniosek to po prostu stwierdzenie, że wykres funkcji
wypukłej leży nad styczną do siebie w dowolnym punkcie wewnętrznym
przedziału–dziedziny. Jednocześnie okazuje się, że funkcja wypukła może być
nieróżniczkowalna w pewnych punktach, np. |x|, |x+1| + |x| + |x − 1| lub e |x| ,
ale w punktach wewnętrznych dziedziny ma skończone pochodne jednostronne,
więc jest „niedaleka” od funkcji różniczkowalnej. Wypada nadmienić, że
te uwagi nie dotyczą końców przedziału–dziedziny, w których funkcja wypukła
może nie być ciągła. Na przykład, jeśli f(x) = x 2 dla x > 0 i f(0) = 1, to f jest
ściśle wypukła na półprostej domkniętej [0, ∞), choć jest nieciągła w punkcie
0, więc tym bardziej nie ma w tym punkcie pochodnej. Takimi funkcjami nie
będziemy się jednak zajmować, bo skłonni jesteśmy przyznać, że są one nieco
sztuczne.
W przykładzie 4.18 pojawiła się nierówność e x > 1+x dla x ≠ 0. Teraz możemy
ją wywnioskować ze ścisłej wypukłości funkcji e x na przedziale (− ∞, ∞).
Podobnie nierówność sin x < x dla 0 < x < π jest konsekwencją ścisłej wklęsłości
funkcji sinus na przedziale [0,π]. Jeśli 0 < x ≠ 1, to lnx < x −1, co wynika
z tego, że funkcja ln jest ściśle wklęsła na (0, ∞), – wykażemy to niebawem.
Widzimy więc, że również w ten sposób można uzyskiwać różne oszacowania.
Warto więc umieć wyjaśnić, czy funkcja na określonym przedziale jest wypukła,
wklęsła czy też ani wypukła, ani wklęsła. Okazuje się, że w wielu przypadkach
można to wyjaśnić, badając pochodną interesującej nas funkcji.
TWIERDZENIE 4.19 (o wypukłości funkcji, której pochodna jest niemalejąca).
Jeśli funkcja f jest zdefiniowana na przedziale otwartym P i ma w punktach
wewnętrznych tego przedziału jednostronne pochodne f + ′ i f − ′ , dla których
zachodzą obydwa warunki:
1) dla każdego x ∈ P zachodzi nierówność f ′ − (x) ≤ f ′ + (x),
2) jeśli x < y i x,y ∈ P, to f ′ +(x) ≤ f ′ −(y),
to funkcja f jest wypukła na przedziale P. Jeżeli nierówność w warunku 2)
jest ostra, to funkcja f jest ściśle wypukła. W szczególności: funkcja różniczkowalna
f jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna f ′ jest
niemalejąca, ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna f ′ jest ściśle
rosnąca.
Dowód. Teraz udowodnimy to twierdzenie dla funkcji różniczkowalnych,
bo w tym przypadku dowód jest bardzo prosty, dowód wersji ogólnej przed-