Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

1.7. Przykłady i komentarze 23
ciągu monotonicznego, pozwala czasem stwierdzić istnienie granicy bez ustalania
jej wartości, co w licznych przypadkach jest bardzo ważne. Pozwala ono
też wykazywać nieistnienie granic – w istocie rzeczy, wykazując, że ciąg geometryczny
o ilorazie q ≤ −1 nie ma granicy, wykazywaliśmy, że nie spełnia on
warunku Cauchy’ego, rolę ε pełniła tam liczba 2.
Listę twierdzeń niezbędnych dla dalszego wykładu można uznać za wyczerpaną,
ale ze względu na to, że wielu studentów zdążyło już poznać tzw.
regułę de l’Hospitala, podamy jeszcze jedno twierdzenie stanowiące jej odpowiednik
dla przypadku ciągów. Twierdzenie to jest bardzo przydatne w wielu
sytuacjach związanych z symbolami nieoznaczonymi typu 0 ±∞
oraz . 0 ±∞
TWIERDZENIE 1.20 (Stolza). Załóżmy, że wszystkie wyrazy ciągu (b n ) są
a
różne od 0, że jest on ściśle monotoniczny i że istnieje granica lim
n+1−a n
n→∞ b n+1−b n
= g.
Jeśli spełniony jest jeden z warunków:
(i) ciąg (b n ) ma granicę nieskończoną,
(ii) ciągi ( )(a n ) i (b n ) są zbieżne do 0,
a
to ciąg n
b n
ma granicę i zachodzi równość:
lim
n→∞
a n
a n+1 − a n
= lim . ×
b n n→∞ b n+1 − b n
1.7. Przykłady i komentarze
Teraz pokażemy jak można stosować twierdzenia z poprzedniego podrozdziału.
Przykłady 1.8, 1.9, 1.10, 1.11 są ważne, wyniki tam opisane będą później
wykorzystywane.
Przykład 1.5. Rozpoczniemy od przykładu już omówionego, ( ) ale teraz ciąg
zbadamy inaczej. Zajmiemy się mianowicie ciągiem (zob. przykład
2n+3
4n−1
1.2). Udowodniliśmy poprzednio, że granicą ciągu jest liczba 1 , nie wyjaśniając,
skąd wiedzieliśmy, że akurat ta liczba ma być granicą. Zauważmy, że za-
2
równo licznik jak i mianownik mają granice, mianowicie + ∞. Jesteśmy więc
w sytuacji niedobrej: mamy wyrażenie typu + ∞ . W tym przypadku można jednak
bez trudu przekształcić wyrażenie określające wyraz ciągu: 2n+3 = 2+ 3 n
+ ∞
.
4n−1 4− 1 n
Teraz możemy zastosować twierdzenie o granicy sumy ciągów (tw. 1.10.1),
potem o granicy różnicy ciągów (tw. 1.10.2), by stwierdzić, że lim (2 + 3) =
n→∞ n
3
= 2+ lim = 2+0 = 2 oraz lim (4− 1 1
) = 4− lim = 4−0 = 4 – wiemy już
n→∞ n n→∞ n n→∞ n
1
przecież, że lim
n→∞ n
= 0 (zob. przykład 1.1), zatem lim
n→∞
3 1
= 3· lim = 3·0 = 0.
n n→∞ n
Teraz mamy do czynienia z ilorazem, którego licznik ma granicę 2, zaś mianownik
– granicę 4, więc różną od 0, co umożliwia skorzystanie z twierdzenia