Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

70 2. Szeregi nieskończone
Wobec tego:
s ′′
3n −s′ 2n = 2
1 ·2·3 + 2
5 ·6·7 + · · ·+ 2
(4n −3) ·(4n −2) ·(4n −1) ≥ 2
1 ·2·3 = 1 3 .
Stąd łatwo wynika, że ciąg (s ′′
3n − s′ 2n ) jest ściśle rosnący, więc s′′ − s ′ >
> s ′′
3 − s ′ 3 = 1.
3
Okazało się więc, że zmiana kolejności wyrazów szeregu, czyli zmiana kolejności
sumowania nieskończonego, doprowadziła do zmiany sumy szeregu (suma
urosła o więcej niż 1 ). Można zmienić kolejność wyrazów szeregu tak, by stał
3
się on rozbieżny, np. by ciąg sum częściowych nie miał granicy albo by miał
granicę nieskończoną. Wskazuje to wyraźnie na konieczność sprecyzowania pojęcia
sumy nieskończonej – od tego zaczęliśmy ten rozdział – a następnie wyjaśnienia,
jakie własności przysługują nieskończonym sumom, czyli szeregom,
bo przecież wykazaliśmy już, że nie można automatycznie przepisywać sumom
nieskończonym własności sum skończonych. Właśnie tym się będziemy zajmować
w dalszym ciągu tego rozdziału. Tematu nie wyczerpiemy, wykażemy
jedynie kilka twierdzeń, które powinny pomóc zrozumieć, jak można postępować
z szeregami w najprostszych sytuacjach.
Udowodnimy teraz twierdzenie, które pozwala na „dostawianie nawiasów”
w szeregu.
TWIERDZENIE 2.2 (o łączności sumowania nieskończonego). Jeśli szereg
∞∑
a n jest zbieżny, a ciąg (k n ) jest ściśle rosnący, b n = a kn + a kn+1 + · · · +
n=0
∑
+ a kn+1−1, gdzie k 0 = 0, to szereg ∞ ∑
b n jest zbieżny i zachodzi równość ∞ a n =
n=0
n=0
∑
= ∞ b n .
n=0
∑
Dowód. Ciąg sum częściowych szeregu ∞ b n jest podciągiem ciągu sum
n=0
∑
częściowych szeregu ∞ a n : b 0 = a 0 + a 1 + · · · + a k1−1, b 0 + b 1 = a 0 + a 1 +
n=0
· · ·+a k2−1 itd. Jeśli ciąg jest zbieżny, to wszystkie jego podciągi są zbieżne do
granicy tego ciągu.
Twierdzenie to nie mówi nic o usuwaniu nawiasów. Ogólnie rzecz biorąc,
nawiasów usuwać nie wolno: szereg (1−1)+(1−1)+(1−1)+· · · = 0+0+0+...
jest zbieżny, natomiast po otwarciu nawiasów mamy do czynienia z szeregiem
1−1+1−1+1−1+... , który jest rozbieżny, gdyż dostawienie nawiasów w inny
sposób daje inną sumę! Czasem jednak nawiasy można usunąć. Można to zrobić
np. w przypadku, gdy wszystkie wyrazy szeregu są tego samego znaku, np.
∑
wszystkie są nieujemne. Wtedy bowiem ciąg sum częściowych szeregu ∞ a n jest
monotoniczny, więc ma granicę i jest ona równa granicy każdego podciągu.
n=0