Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

2.6. Szeregi potęgowe I 91
∑
Dowód. Ponieważ szereg ∞ a n x n 1 jest zbieżny, więc lim a n x n 1 = 0, zatem
n=0
n→∞
istnieje taka liczba M > 0, że ∣ an x n ∣
1 ≤ M. Mamy zatem:
∞∑
∑ ∞ ∣ n k a n x n ∣
2 = ∣ an x n ∣
1 n
k
∣ x ∣
2 ∣∣
n ∑ ∞ ∣
≤ M n k ∣∣ x
∣
2∣∣
n
< + ∞.
x 1 x 1
n=0
n=0
Ostatnia nierówność wynika z tego, że jeśli 0 < q < 1, to dla każdej liczby
∑
naturalnej k szereg ∞ n k q n jest zbieżny (kryterium ilorazowe d’Alemberta),
n=1
przyjmujemy q = ∣ ∣ x 2∣.
x 1
Lemat został udowodniony.
n=0
Z tego lematu od razu wynika kolejne twierdzenie.
n=0
TWIERDZENIE 2.25 (o przedziale zbieżności szeregu potęgowego). Zbiór
∑
punktów, w których szereg ∞ a n x n jest zbieżny, jest przedziałem o środku
w punkcie 0 (być może zdegenerowanym do jednego punktu lub nieskończonym).
Wewnątrz przedziału zbieżności szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie.
DEFINICJA 2.26 (przedziału i promienia zbieżności szeregu potęgowego).
Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy zbiór tych wszystkich
punktów, w których szereg potęgowy jest zbieżny. Połowę długości przedziału
zbieżności nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego.
∑
Promienie zbieżności w kolejnych przykładach to: ∞ w przypadku szeregu
x
n
, 0 w przypadku szeregu ∑ n! · x n , 1 w przypadku szeregu ∑ x n oraz
n! n
w przypadku ∑ x n
, 1 w przypadku szeregu ∑ 2 n x n . Widać z tego omówienia,
że równość promieni zbieżności nie musi oznaczać równości przedziałów
n 2 2
zbieżności.
Jest jasne, że suma i różnica szeregów potęgowych są szeregami potęgowymi.
Z twierdzenia Maertensa o mnożeniu szeregów wynika, że również
iloczyn Cauchy’ego szeregów potęgowych jest szeregiem potęgowym – to zresztą
jest jedna z głównych przyczyn, dla których iloczyn szeregów jest w taki
sposób zdefiniowany – Cauchy zajmował się intensywnie szeregami potęgowymi.
Wykażemy teraz ważną własność szeregu potęgowego, mianowicie jego ciągłość.