Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

188 4. Funkcje różniczkowalne
Pozostaje w mocy twierdzenie Cauchy’ego o istnieniu granicy skończonej: ciąg
ma granicę skończoną wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego.
Można więc mówić o szeregach zbieżnych. Można też mówić o szeregach potęgowych
liczb zespolonych. Wtedy zamiast przedziału zbieżności mamy do
czynienia z kołem zbieżności. Brzeg koła to okrąg składający się z nieskończenie
wielu punktów. Okazuje się, że na brzegu koła zbieżności szeregi mogą
zachowywać się dosyć dziwnie, jednak wewnątrz nie ma żadnych nowych problemów:
otrzymujemy funkcję zmiennej zespolonej, ciągłą, a nawet różniczkowalną.
Podkreślmy, wewnątrz koła i na brzegu mogą się znajdować punkty,
w których szereg jest zbieżny, a jego suma nie jest ciągła, choć o jakiejś ciągłości
w ograniczonym sensie można mówić (chodzi z grubsza o to, że ciągi
dążące do punktu na brzegu koła mają dążyć do niego „niestycznie”, ale tego
typu rozważania zaprowadziłyby nas za daleko). Można więc zdefiniować
funkcje zmiennej zespolonej za pomocą szeregów potęgowych. Na przykład napisać
e z = ∞ ∑
∑
z n
lub sin z = ∞ (−1) n z2n+1
oraz cos z = ∑ ∞ (−1) n z2n
. Z tych
n! (2n+1)! (2n)!
n=0
n=0
definicji można wywnioskować, że zachodzi następujący wzór Eulera:
e iz = cos z + isin z
dla każdej liczby zespolonej z. To jeden z ważniejszych wzorów w matematyce.
Wynikają z niego jeszcze dwa bardzo użyteczne wzory: sinz = 1 2i (eiz − e −iz )
oraz cos z = 1 2 (eiz + e −iz ), bowiem e −iz = cos(−iz) + isin(−iz) = cos(iz) −
isin(iz). Zaczyna być widoczny związek między funkcją wykładniczą oraz
funkcjami trygonometrycznymi. Tematu tego nie będziemy rozwijać, jednak
podkreślamy, że jedyną przyczyną, dla której ledwie wspominamy o liczbach
zespolonych, jest brak czasu. Chętnie korzystalibyśmy z nich w różnych miejscach,
bo wiele kwestii można by wtedy lepiej wyjaśnić.
n=0
Pokażemy jeszcze jedno twierdzenie, które po raz kolejny uświadomi nam,
że funkcja wykładnicza to taka, dla której tempo wzrostu jest proporcjonalne
do jej wartości.
TWIERDZENIE 4.22 (o wzroście wykładniczym). Jeśli f : (a,b) −→ R
jest funkcją różniczkowalną, dla której istnieje taka liczba rzeczywista k, że
równość f ′ (x) = kf(x) zachodzi dla wszystkich x ∈ (a,b), to istnieje taka
stała C, że równość f(x) = Ce kx ma miejsce dla wszystkich x ∈ (a,b).
Dowód. Z założenia wynika od razu, że dla wszystkich liczb x ∈ (a,b)
zachodzi równość:
(
f(x)e
−kx ) ′
= f ′ (x)e −kx + f(x) ( −ke −kx) = kf(x)e −kx − kf(x)e −kx = 0.