Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

4.5. Szeregi potęgowe II 187
Niech teraz u = x − 5. Wtedy:
x
x 2 + 5x + 6 = u + 5
(u + 5) 2 + 5(u + 5) + 6 = u + 5
(u + 7)(u + 8) = 3
u + 8 − 2
u + 7 =
= 3 8 · 1
1 − ( ) − 2 − u 7 · 1
1 − ( ) =
− u 8
7
= 3 ∞∑ (
8 · − u ) n 2
∞∑
−
8 7 ·
n=0
n=0
∞∑
( ( 3
= − 1 ) n
− 2 (
− 1 8 8 7 7
n=0
(
− u 7) n
=
) n )
(x − 5) n .
Otrzymaliśmy drugie z obiecanych rozwinięć. Wzór jest poprawny dla u ∈
(− 1, 1), czyli dla x ∈ (5 − 1,5 + 1 ). W obu przypadkach wyprowadzenie
8 8 8 8
sprowadzało się do użycia wzoru na sumę szeregu geometrycznego.
Przykład 4.49. Znajdziemy rozwinięcie funkcji cos 2 x wokół punktu 0. Mamy:
cos 2 x = 1 2 (1 + cos 2x) = 1 (
2 − 1 2 2! (2x)2 + 1 4! (2x)4 − 1 )
6! (2x)6 + · · · =
= 1 − 2 2! x2 + 23
4! x4 − 25
6! x6 + · · · .
Ten wzór zachodzi dla wszystkich x rzeczywistych, bowiem w takim zakresie
działa wzór, z którego skorzystaliśmy przy wyprowadzeniu: cos x =
∑
= ∞ (−1) n x2n
n=0
(2n)! .
Komentarz (kilka uwag o liczbach zespolonych w analizie). W tej książce
liczb zespolonych w praktyce nie używamy. Są one studentom znane z wykładu
algebry liniowej. Trudno jednak powstrzymać się od kilku przynajmniej
zdań na ich temat. Można zdefiniować granicę ciągu liczb zespolonych podobnie
jak ciągu liczb rzeczywistych: g = lim z n wtedy i tylko wtedy, gdy
n→∞
lim |z n − g| = 0, oczywiście wartości bezwzględne liczb zespolonych są liczbami
rzeczywistymi. Z tej definicji wynika łatwo, że jeśli z n = x n + iy n , przy
n→∞
czym x n ,y n ∈ R, to lim z n = g = a + ib wtedy i tylko wtedy, gdy a = lim x n
n→∞ n→∞
i jednocześnie b = lim y n . Większość twierdzeń pozostaje prawdziwa. Te,
n→∞
w których sformułowaniach występuje monotoniczność, tracą sens. W szczególności
prawdziwe jst twierdzenie o arytmetycznych własnościach granicy, ale
nie istnieje pojęcie ciągu zbieżnego do + ∞ ani do − ∞. Prawdziwe jest twierdzenie
Bolzano–Weierstrassa, ale nie ma sensu twierdzenie o trzech ciągach.