Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

140 3. Funkcje ciągłe
192. Wykazać, że jeśli f : [a,b] → R, a < b, jest ciągła, to jej zbiór wartości:
{f(x): x ∈ [a,b]} jest przedziałem domkniętym, być może zdegenerowanym
do jednego punktu.
193. Czy istnieje funkcja ciągła f : (a,b] → R, a < b, której zbiór wartości
{f(x): x ∈ (a,b]} jest zbiorem wszystkich liczb wymiernych?
194. Czy istnieje funkcja ciągła f : (a,b] → R, a < b, której zbiór wartości
{f(x): x ∈ (a,b]} jest zbiorem dwupunktowym?
195. Czy istnieje funkcja ciągła f : (a,b] → R, a < b, której zbiór wartości
{f(x): x ∈ (a,b]} jest zbiorem jednopunktowym?
196. Czy istnieje funkcja ciągła f : (a,b] → R, a < b, której zbiór wartości
{f(x): x ∈ (a,b]} jest równy (1,2) ∪ (3,4)?
197. Czy istnieje funkcja ciągła f : (a,b] → R, a < b, której zbiór wartości
{f(x): x ∈ (a,b]} jest równy (1,2) ∪ (2,4)?
198. Czy istnieje funkcja ciągła f : (a,b] → R, a < b, której zbiór wartości
{f(x): x ∈ (a,b]} jest równy (1,2)?
199. Wykazać, że funkcja ciągła na przedziale, której wszystkie wartości są
niewymierne, jest stała.
200. Korzystając z wypukłości lub wklęsłości odpowiedniej funkcji, wykazać,
że:
( ) 100
1
x + y
2 (x100 + y 100 ) > dla x ≠ y.
2
201. Korzystając z wypukłości lub wklęsłości odpowiedniej funkcji, wykazać,
że jeśli x,y,z ∈ [0,π] i któreś dwie spośród liczb x,y,z są różne, to:
sin x + y + z
3
> 1 (sin x + sin y + sin z).
3
202. Korzystając z wypukłości lub wklęsłości odpowiedniej funkcji, wykazać,
że spośród trójkątów wpisanych w okrąg o promieniu 1 największy obwód ma
trójkąt równoboczny.
203. Wykazać, że jeśli 0 < α < π α
, to tg < 1 tg α.
2 1410 1410
204. Wykazać, że jeśli 0 < α < π, to sin α > 1 sin α.
1410 1410
205. Korzystając z wypukłości lub wklęsłości odpowiedniej funkcji, wykazać,
że spośród stukątów wpisanych w okrąg o promieniu 1 największe pole ma
stukąt foremny.