Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

174 4. Funkcje różniczkowalne
f(x)
Zauważmy jeszcze, że twierdzenie pozostaje prawdziwe dla granicy lim
x→b
g(x)
po dokonaniu odpowiednich kosmetycznych zmian w założeniach i w tezie.
Z tego zdania wynika, że można je też stosować w przypadku granic dwustronnych.
Warto zauważyć, że istnieje analogia między regułą de l’Hospitala i twierdzeniem
Stolza. Te rozważania nie będą ścisłe, gdyż mówić tu będziemy raczej
o intuicjach. Ciąg można traktować jako funkcję określoną na zbiorze wszystkich
liczb naturalnych. Wtedy b = + ∞. Niestety dziedzina nie jest w tym przypadku
przedziałem, więc nie można mówić o pochodnej. Można jednak spojrzeć
na zagadnienie nieco inaczej. Pochodna była nam potrzebna do oszacowania
różnicy f(x) − f(a), przy czym interesowała nas minimalna możliwa zmiana
argumentu. Pisaliśmy przy odpowiednich założeniach, że f(x)−f(a) ≈ f ′ (a)
.
g(x)−g(a) g ′ (a)
W przypadku ciągu minimalna możliwa zmiana argumentu to 1. Wobec tego
zamiast ilorazu pochodnych f ′ (x)
, który przybliża interesujący nas iloraz
g ′ (x)
różnicowy f(x+h)−f(x)
h
g(x+h)−g(x)
h
= f(x+h)−f(x)
an+1−an
, rozpatrujemy iloraz
g(x+h)−g(x) b n+1−b n
. W twierdzeniu
Stolza zakładaliśmy, że ciąg (b n ) jest ściśle monotoniczny. W regule de
l’Hospitala też występuje to założenie, zakładamy mianowicie, że pochodna
funkcji g nie przyjmuje wartości 13 0, z czego wynika, że jest ona albo dodatnia,
albo ujemna, a to pociąga za sobą ścisłą monotoniczność funkcji g.
Pokażemy teraz na kilku przykładach, jak można stosować regułę de
l’Hospitala. Niektóre z podanych rezultatów zostały uzyskane wcześniej lub
można je było uzyskać, używając wykazanych wcześniej twierdzeń.
x
Przykład 4.36. lim
a
= 0. Możemy próbować zastosować regułę de
x→∞
e x
l’Hospitala, gdyż mianownik ma granicę nieskończoną i jego pochodna, e x ,
jest różna od 0 wszędzie. Nie jest istotne, jaka jest granica licznika, a nawet
czy licznik ma granicę. Iloraz pochodnych to axa−1
, więc jest to wyrażenie
e x
tego samego typu co wyjściowe. Istotną zmianą jest pojawienie się w wykładniku
a − 1 w miejsce a. Jeśli a ≤ 1, to licznik jest ograniczony z góry
na półprostej [1,+∞), a mianownik dąży do + ∞, więc iloraz dąży do 0.
Jeśli a > 1, to stosujemy regułę de l’Hospitala k ≥ a razy. Omówimy to
dokładniej. Po k-krotnym zróżniczkowaniu w liczniku pojawia się wyrażenie
a(a − 1)(a − 2) · · · · · (a − k + 1)x a−k , w mianowniku natomiast mamy e x . Ponieważ
k ≥ a, więc funkcja a(a−1)(a−2)·· · ··(a−k+1)x a−k jest ograniczona,
zatem lim
x→+ ∞
stwierdzić, że
a(a−1)(a−2)·····(a−k+1)x a−k
e x
a(a−1)(a−2)·····(a−k+2)x
lim
a−k+1
x→+ ∞
e x
= 0. Dzięki regule de l’Hospitala możemy
= 0. Stosując twierdzenie jesz-
13 Nie udowodniliśmy, co prawda, że pochodna ma własność Darboux (przyjmowania wartości
pośrednich), ale twierdzenie to zostało wykazane przez Darboux, a w przypadku funkcji, które mają
ciągłe pochodne, wynika z twierdzenia Bolzano–Cauchy’ego o przyjmowaniu wartości pośrednich
przez funkcję ciągłą.