Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

1.7. Przykłady i komentarze 27
n + 1 − n
lim
n→∞ q n+1 − q = lim 1
n n→∞ q n (q − 1) = 1 ) n
1
q − 1 n→∞( · lim = 0.
q
Ponieważ iloraz różnic kolejnych liczników przez różnice kolejnych mianowników
ma granicę, iloraz ciągów też ma granicę i to taką samą, czyli 0. 5
Teraz zajmiemy się ciągiem
(
n 2
q n )
. Tak jak poprzednio możemy spróbować
użyć twierdzenie Stolza. Zbadamy iloraz różnic kolejnych liczników i mianowników.
Mamy
(n + 1) 2 − n 2
lim
n→∞ q n+1 − q n
2n + 1
= lim
n→∞ q n (q − 1) = 2
q − 1 lim n
n→∞ q + 1 ) n
1 n q − 1 n→∞( lim = 0.
q
Ostatnia równość wynika z twierdzenia zastosowanego dla k = 1, które już
udowodniliśmy. Nasuwa to myśl o udowodnieniu twierdzenia w pełnej ogólności
za pomocą indukcji. Szczegóły pozostawiamy czytelnikom. Najważniejszy
krok to stwierdzenie, że (n+1) k −n k jest wielomianem stopnia (k−1) zmiennej
n – wynika to natychmiast z wzoru dwumianowego Newtona. W konsekwencji
iloraz różnic kolejnych liczników przez kolejne mianowniki jest sumą co
najwyżej k składników postaci c · , gdzie c oznacza pewną liczbę rzeczywistą,
zaś j < k – pewną liczbę naturalną. Suma taka na mocy założenia
indukcyjnego jest zbieżna do 0.
Naszkicujemy teraz inną metodę dowodu. Niech q = 1+r. Ponieważ q > 1,
n j
q n (q−1)
więc r > 0. Jeśli n > k, to q n = (1 + r) n =
n∑
j=0
( n
j)
r j > ( n
k+1)
r k+1 . Wyrażenie
( )
n
k+1 r k+1 = n(n−1)...(n−k+1)(n−k) r k+1 jest wielomianem stopnia k + 1 > k
k!
nk
zmiennej n, więc lim = 0 i oczywiście 0 <
n→∞ ( k+1)r n k+1
n
z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że lim
k
= 0.
n→∞ q n
n k
q n <
n k
( n
k+1)r k+1 , zatem
Przykład 1.11. Niech a n = qn
n!
i niech q oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.
Wykażemy, że lim
n→∞
a n = 0.
Z definicji ciągu (a n ) wynika, że a n = q·q·q·····q
1·2·3·····n
|q|
wzrostem liczby n. Jest nawet lim
n→∞ n
|q|
. Iloraz maleje wraz ze
n
= 0. Oznacza to, że jeśli n jest duże,
to wyraz a n+1 jest znikomo małą częścią wyrazu a n . Stąd powinna wynikać
zbieżność ciągu do 0. Rzeczywiście, niech m ≥ 2|q| będzie liczbą naturalną
5 W 1798 r. angielski ekonomista Th.R. Malthus w pracy An Essay on the Principle of Population
stwierdził, że liczba ludności wzrasta jak ciąg geometryczny, zaś ilość żywności jak ciąg arytmetyczny
(tzw. prawo Malthusa). Wynikałoby stąd i z tego, co właśnie wykazaliśmy, że ilość żywności przypadająca
na jedną osobę maleje w czasie i to do 0, co prawda w bardzo długim czasie, bo w przypadku
liczby ludności q ≈ 1, ale to i tak nie wyglądało dobrze.