Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

1.3. Ciągi monotoniczne i ściśle monotoniczne, ciągi ograniczone 17
jego różnica d jest dodatnia, malejący – gdy d < 0, stały (więc jednocześnie
niemalejący i nierosnący), gdy d = 0.
DEFINICJA 1.6 (ciągów ograniczonych). Ciąg (a n ) nazywany jest ograniczonym
z góry wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba rzeczywista M,
że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność: a n ≤ M. Analogicznie,
(a n ) jest ograniczony z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba rzeczywista
m, że dla każdego n zachodzi nierówność a n ≥ m. Ciąg ograniczony
z góry i z dołu nazywamy ograniczonym. Ciągiem nieograniczonym nazywamy
każdy ciąg, który nie jest ograniczony.
Ciąg (n) jest ograniczony z dołu, np. przez −13 lub 0, ale nie jest ograniczony
z góry, więc jest nieograniczony. Ciąg ( (−1) n) jest ograniczony z góry
np. przez 1 lub przez √ 1000, oraz z dołu, np przez −1, ale również przez −13.
Ciąg (a n ) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba
nieujemna M, że |a n | ≤ M dla każdego n. Oczywisty jest wniosek z definicji
ciągu ograniczonego: M musi być tak duże, by liczba −M była ograniczeniem
dolnym ciągu (a n ) i jednocześnie by liczba M była jego ograniczeniem górnym.
Przykład 1.4. Zajmiemy się ciągiem ( (1 + x n )n) . Wypiszmy przybliżenia
dziesięciu pierwszych wyrazów ciągu:
w przypadku x = 1: w przypadku x = −4:
( )
1 +
1 1 ( )
1 = 2, 1 +
−4 1
1 = −3,
( )
1 +
1 2
2 =
9
= 2,25, ( )
4 1 +
−4 2
2 = 1,
( )
1 +
1 3
3 =
64
≈ 2,37, ( )
27 1 +
−4 3
3 =
−1
( ) ≈ −0,37,
27
1 +
1 4
4 =
625
≈ 2,44, ( )
256 1 +
−4 4
4 = 0,
( )
1 +
1 5
5 =
7776
≈ 2,49, ( )
3125 1 +
−4 5
5 =
1
≈ 0,00032,
3125
( )
1 +
1 6
6 =
117649
≈ 2,52, ( )
46656 1 +
−4 6
6 =
1
( ) ≈ 0,0014,
729
1 +
1 7
7 =
2097152
≈ 2,55, ( )
823543 1 +
−4 7
7 =
2187
( ) ≈ 0,0027,
823543
1 +
1 8
8 =
43046721
≈ 2,56, ( )
16777216 1 +
−4 8
8 =
1
≈ 0,0039,
256
( )
1 +
1 9
9 =
1000000000
≈ 2,58, ( )
387420489 1 +
−4 9
9 =
1953125
( ) ≈ 0,0050,
387420489
1 +
1 10
10 =
25937424601
≈ 2,59. ( )
10000000000 1 +
−4 10
10 =
59049
≈ 0,0060.
9765625
Łatwo można przekonać się, że ciąg o wyrazie a n = (1 + x n )n nie jest
ani geometryczny, ani arytmetyczny z wyjątkiem jednego przypadku: x = 0.
Wykażemy, że jeśli n > −x ≠ 0, to a n+1 > a n , czyli że ciąg ten jest rosnący
od pewnego momentu. W przypadku x > 0 jest rosnący, gdy x < 0, to może
się zdarzyć, że początkowe wyrazy zmieniają znak, więc o monotoniczności nie
może być nawet mowy. Jednak od momentu, w którym wszystkie wyrazy ciągu
są dodatnie, jest on niemalejący. Wypada to wykazać. Z nierówności n > −x