Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

1.8. Dowody 35
zakładamy, że (a n ) nie zawiera podciągu stałego, więc że każda liczba może
wystąpić jako wyraz ciągu jedynie skończenie wiele razy. To założenie nie
jest istotne dla rozumowania przeprowadzanego poniżej, jednak pozwala uniknąć
pytań o szczegółową interpretację używanych sformułowań. Niech n 1 = 1,
c 1 = c, d 1 = d. Jedna z połówek przedziału [c,d] (lub obie) zawiera nieskończenie
wiele wyrazów ciągu a n , niech [c 2 ,d 2 ] będzie tą właśnie połówką (jeśli np.
w przedziale [ ]
c, c+d
2 jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu (an ), to przyjmujemy
c 2 = c 1 = c i d 2 = c+d,
jeśli w przedziale [ ]
c, c+d
2 2 jest skończenie
wiele wyrazów ciągu (a n ), to w przedziale [ c+d
,d] musi być ich nieskończenie
wiele, w tym przypadku przyjmujemy c 2 = c+d oraz d
2
2 2 = d 1 = d) i niech
n 2 > n 1 będzie takim numerem, że a n2 ∈ [c 2 ,d 2 ]. Powtarzamy przeprowadzone
rozumowanie w odniesieniu do przedziału [c 2 ,d 2 ] i wyrazów ciągu następujących
po a n2 . W wyniku tego otrzymujemy liczbę naturalną n 3 > n 2 oraz
przedział [c 3 ,d 3 ] ⊆ [c 2 ,d 2 ] zawierający nieskończenie wiele nastęnych wyrazów
ciągu (a n ), w tym a n3 . Dla j = 1,2,3 mamy wobec tego c j ≤ a nj ≤ d j
i d j − c j = d−c oraz c
2 j 1 ≤ c 2 ≤ c 3 i d 1 ≥ d 2 ≥ d 3 . Kontynuując to postępowanie,
otrzymujemy niemalejący ciąg (c j ) oraz nierosnący ciąg (d j ), przy czym
d j − c j = d−c . Ciągi te mają granice, gdyż są monotoniczne. Granice te są
2 j 1
równe, gdyż lim (d j − c j ) = lim · (d − c) = 0. Ponieważ c
j→∞ j→∞
2 j−1 j ≤ a nj ≤ d j dla
każdej liczby naturalnej j, więc – na mocy twierdzenia o trzech ciągach – ciąg
(a nj ) też ma tę samą granicę. Dowód został zakończony.
Dowód wniosku 1.17 (z twierdzenia Bolzano–Weierstrassa). Udowodnimy
teraz, że z ciągu (a n ), który nie ma granicy, można wybrać dwa podciągi
mające różne granice. Załóżmy, że ciąg (a n ) zawiera podciąg o granicy + ∞.
Ponieważ + ∞ nie jest granicą ciągu (a n ), więc istnieje taka liczba rzeczywista
B, że dla nieskończenie wielu n zachodzi nierówność a n < B. Niech a kn
oznacza podciąg ciągu (a n ) złożony z tych wszystkich wyrazów ciągu a n , które
są mniejsze niż B. Na mocy twierdzenia Bolzano–Weierstrassa można z ciągu
(a kn ) wybrać podciąg, który ma granicę g. Oczywiście g ≤ B. Wobec tego
w tym przypadku istnieją dwa podciągi: jeden o granicy + ∞, drugi o granicy
g ≤ B < + ∞, co kończy dowód w tym przypadku.
Jeśli ciąg (a n ) zawiera podciąg o granicy − ∞, to teza wynika z poprzednio
udowodnionego fragmentu: ciąg (− a n ) zawiera dwa podciągi o różnych granicach.
Pozostał do rozpatrzenia przypadek ciągu (a n ), który nie zawiera podciągów
o granicach nieskończonych. Ponieważ ciąg (a n ) nie zawiera podciągu
o granicy + ∞, jest ograniczony z góry, a ponieważ nie zawiera podciągów
zbieżnych do − ∞, jest ograniczony również z dołu. Mamy więc do czynienia
z ciągiem ograniczonym. Można zeń wybrać podciąg zbieżny do granicy g. Ponieważ
g nie jest granicą ciągu (a n ), istnieje takie ε > 0, że poza przedziałem
(g−ε,g+ε) znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu. Wybieramy z tych
właśnie wyrazów podciąg zbieżny. Ma on oczywiście granicę ≠ g, dokładniej