Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

84 2. Szeregi nieskończone
∑
same rozważania dotyczą różnicy ∞ a n − s k , więc również
Wobec tego: ∣∣∣∣
∑ ∞ ∣ ∣∣∣ ∞
a n − s σ k∣ ≤ ∑
∣ ∣∣∣ a n − s k +
∣ s k − s σ k∣ < ε 2 + ε 2 = ε
n=0
n=0
n=0
∑
∣ ∞ ∣ ∣∣
a n − s k <
ε
. 2
n=0
dla każdej liczby k > n ε . Z definicji granicy ciągu wynika więc, że lim s σ n =
n→∞
∞∑
= a n , a to właśnie oznacza, że:
n=0
Dowód został zakończony.
∞∑
a σ(n) =
n=0
∞∑
a n .
Zakończymy ten punkt twierdzeniem o mnożeniu szeregów. Mnożąc dwie
skończone sumy liczb (a 0 + a 1 + · · · + a n )(b 0 + b 1 + · · · + b n ), otrzymujemy
sumę wszystkich iloczynów postaci a i b j , np. dla n = 2 mamy:
(a 0 + a 1 + a 2 )(b 0 + b 1 + b 2 ) =
= a 0 b 0 + a 0 b 1 + a 0 b 2 + a 1 b 0 + a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 0 + a 2 b 1 + a 2 b 2 .
Oczywiście otrzymaną sumę dziewięciu składników można porządkować na
bardzo wiele sposobów (9! = 362880). W przypadku skończonej liczby składników
wybór ich kolejności nie ma żadnego wpływu na ich sumę. To samo
dotyczy nieskończenie wielu składników pod warunkiem rozważania wyrazów
szeregu bezwzględnie zbieżnego. W przypadku szeregu, który nie jest bezwzględnie
zbieżny, należy, jak wiemy, być ostrożnym. Jest jasne, że mnożąc
dwa szeregi ∑ a n i ∑ b n , powinniśmy otrzymać szereg, wśród wyrazów którego
wszystkie iloczyny są postaci a i b j , uporządkowane w jakiś sensowny sposób.
Okazuje się, że sugerowany rezultat wygodnie jest sformułować za pomocą
twierdzenia.
TWIERDZENIE 2.21 (Mertensa o mnożeniu szeregów). Załóżmy, że szeregi
∑ a n i ∑ b n są zbieżne, przy czym co najmniej jeden z nich jest zbieżny
bezwzględnie. Niech
c n = a 0 b n + a 1 b n−1 + a 2 b n−2 + · · · + a n−1 b 1 + a n b 0 = ∑
a i b j .
n=0
Wtedy szereg ∑ c n jest zbieżny i zachodzi równość:
∞∑ ∞∑ ∞∑
a n · b n = c n .
n=0
n=0
n=0
i+j=n
Jeśli oba szeregi ∑ a n i ∑ b n są zbieżne bezwzględnie, to również szereg ∑ c n
jest bezwzględnie zbieżny.