Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

4.8. Zadania 201
277. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f, jeśli f(x) = −1791x 2
dla −1 ≤ x ≤ 0.
278. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f, jeśli f(x) = 2exln x
dla 0 < x ≤ 2.
279. Ile pierwiastków ma równanie x 3 − 6x 2 + 9x − 10 = 0?
280. Ile pierwiastków ma równanie 3x 4 − 4x 3 − 6x 2 + 12x − 20 = 0?
281. Ile pierwiastków ma równanie e x = ax 2 w zależności od a ∈ R?
282. Ile pierwiastków ma równanie x 5 − 5x = a w zależności od a ∈ R?
sin x−x
283. Obliczyć granicę lim .
x→0 x 3
284. Obliczyć granicę limx x .
x→0
(
285. Obliczyć granicę lim π − x) tg x.
x→ π 2
2
286. Obliczyć granicę lim
x→∞
x 1000 (1,001) −x .
sin(tg x−sin x)
287. Obliczyć granicę lim .
x→0 (−ln(cos x)) a
(1−(cos x)
288. Obliczyć granicę lim
sin x ) 2
.
x→0 (tg x) 6
289. Znaleźć najmniejszą stałą Lipschitza dla funkcji e x na przedziale [0,10].
290. Znaleźć najmniejszą stałą Lipschitza dla funkcji tg x na przedziale [0, π 3 ].
291. Znaleźć najmniejszą stałą Lipschitza dla funkcji ln x na przedziale
[2, ∞).
292. Znaleźć najmniejszą stałą Lipschitza dla funkcji 3√ x na przedziale [1, ∞).
x
293. Znaleźć najmniejszą stałą Lipschitza dla funkcji
x 2 +1
(− ∞, ∞).
na przedziale
294. Znaleźć najmniejszą stałą Lipschitza dla funkcji x 2 na przedziale
[100,1000].
295. Dowieść, że jeśli x,y ∈ ( − π 2 , π 2)
, to |tg x − tg y| ≥ |x − y|, przy czym
równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy x = y.
296. Korzystając z wypukłości lub wklęsłości odpowiedniej funkcji, wykazać,
że:
2 √ 2
π x < sin x < x dla 0 < x < π 4 .