Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

3.5. Funkcje ciągłe 117
a w drugim do 0. Wobec tego funkcja ta jest nieciągła(
w każdym punkcie! )
Można udowodnić (to jest łatwe!), że f(x) = lim k→∞ lim
n→∞ (cos(k!πx))2n ,
więc ta dziwna funkcja może być otrzymana w wyniku podwójnego przejścia
granicznego z funkcji uważanych za podstawowe.
Funkcje nieciągłe pojawiają się w różnego rodzaju modelach matematycznych.
Nie będziemy się nimi zajmować prawie wcale. Pierwszym naszym celem
jest zaznajomienie się z podstawowymi własnościami funkcji ciągłych określonych
na porządnych dziedzinach. Z naszego punktu widzenia najporządniejszymi
możliwymi dziedzinami są przedziały. Rozpoczniemy od intuicyjnie oczywistego
twierdzenia nazywanego często mylnie twierdzeniem Darboux. Wydaje
się, że pierwszymi, którzy je udowodnili, zresztą niezależnie, byli Bolzano
i Cauchy.
TWIERDZENIE 3.20 (o przyjmowaniu wartości pośrednich). Jeśli f jest
funkcją ciągłą w każdym punkcie pewnego przedziału P i dla pewnych punków
x,z przedziału P zachodzi nierówność f(x) < C < f(z), to między punktami
x i z znajduje taki się punkt y, że C = f(y).
Dowód. Niech x 0 = x, z 0 = z. Niech c 0 będzie środkiem odcinka o końcach
x 0 i z 0 . Mamy c 0 = 1(x 2 0 + z 0 ). Są trzy możliwości f(c 0 ) = C, f(c 0 ) < C,
f(c 0 ) > C. W pierwszym przypadku przyjmujemy y = c 0 i kończymy dowód.
W drugim przypadku przyjmujemy x 1 = c 0 i z 1 = z 0 . W trzecim przypadku
przyjmujemy x 1 = x 0 i z 1 = c 0 . W drugim i trzecim przypadku spełnione
są zależności: f(x 1 ) < C < f(z 1 ) oraz |z 1 − x 1 | = 1|z 2 0 − x 0 |. Powtórzymy
rozumowanie. Niech c 1 = 1(x 2 1 + z 1 ). Jeśli f(c 1 ) = C, to kończymy dowód,
przyjmując y = c 1 . W przypadku przeciwnym przyjmujemy x 2 = c 1 i z 2 = z 1 ,
jeśli f(c 1 ) < C, oraz x 2 = x 1 i z 2 = c 1 , jeżeli f(c 1 ) > C. W obu przypadkach
f(x 2 ) < C < f(z 2 ) i |z 2 − x 2 | = 1|z 2 1 − x 1 | = ( 1 2
2)
|z0 − x 0 |. Postępując
w dalszym ciągu w ten sposób, natrafiamy na taki punkt y, że C = f(y) lub
otrzymujemy takie dwa ciągi (x n ) i (z n ) punktów przedziału P, że dla każdego
n spełnione są związki |z n −x n | = ( 1 n
2)
|z0 −x 0 | oraz f(x n ) < C < f(z n ). Z definicji
ciągów (x n ) i (z n ) wynika, że dla każdego n punkty x n+1 i z n+1 znajdują się
w przedziale domkniętym o końcach x n i z n . Stąd wynika, że jeżeli k > m > n, to
punkty x m ,z m ,x k ,z k znajdują się w przedziale o końcach x n , z n i wobec tego odległości
między każdymi dwoma z nich są mniejsze niż |z n −x n | = ( 1 n
2)
|z0 −x 0 |,
w szczególności |x k −x m | < ( )
1 n
|z0 −x
2 0 | i |z k −z m | < ( 1 n
2)
|z0 −x 0 |. Z tego, że
) n
lim = 0, wynika, że oba ciągi (xn ) i (z n ) spełniają warunek Cauchy’ego,
n→∞( 1
2
więc każdy z nich ma skończoną granicę. Ponieważ lim |z n − x n | = 0, więc te
n→∞
granice są równe. Niech y = lim x n = lim z n . Z ciągłości funkcji f w punkcie
n→∞ n→∞
y wynika, że f(y) = lim f(x n ) ≤ C oraz C ≤ lim f(z n ) = f(y). Z nierówności
n→∞ n→∞
f(y) ≤ C ≤ f(y) wynika, że C = f(y). Dowód został zakończony.