Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

3.3. Granica funkcji 105
różne od p, rozpatrujemy jedynie ich część. Jeśli natomiast wiemy, że istnieją
granice jednostronne, to ciąg o wyrazach różnych od p możemy rozbić na
podciąg o wyrazach mniejszych niż p i na podciąg o wyrazach większych niż
p. Odpowiadające im ciągi wartości mają tę samą granicę, więc ciąg wartości
odpowiadający naszemu ciągowi ma granicę i to równą wspólnej wartości
obu granic jednostronnych. Oczywiście, jeśli ciąg argumentów zawiera jedynie
skończenie wiele wyrazów większych niż p, to nie możemy rozpatrywać granicy
prawostronnej, ale to niczemu nie przeszkadza, bo w tym przypadku wystarczy
skorzystać z istnienia granicy lewostronnej.
Podobnie jak w przypadku twierdzenia o scalaniu, można przenieść inne
twierdzenia dotyczące granic ciągów na ogólniejszy przypadek granicy funkcji.
TWIERDZENIE 3.7 (o arytmetycznych własnościach granicy).
1. Jeśli istnieją granice lim f(x), lim g(x) i określona jest ich suma, to
x→p x→p
istnieje granica lim(f(x) + g(x)) i zachodzi wzór:
x→p
lim(f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x).
x→p x→p x→p
2. Jeśli istnieją granice lim f(x), lim g(x) i określona jest ich różnica, to
x→p x→p
istnieje granica lim(f(x) − g(x)) i zachodzi wzór:
x→p
lim(f(x) − g(x)) = lim f(x) − lim g(x).
x→p x→p x→p
3. Jeśli istnieją granice lim f(x), lim g(x) i określony jest ich iloczyn, to
x→p x→p
istnieje granica lim(f(x) · g(x)) i zachodzi wzór:
x→p
lim(f(x) · g(x)) = lim f(x) · lim g(x).
x→p x→p x→p
4. Jeśli istnieją granice lim f(x), lim g(x) i określony jest ich iloraz, to
x→p x→p
f(x)
istnieje granica lim i zachodzi wzór
x→p g(x)
lim f(x)
f(x)
lim
x→p g(x) = x→p
lim g(x).
x→p
Dowód tego twierdzenia jest natychmiastową konsekwencją twierdzenia
o arytmetycznych własnościach granicy ciągu.
Przed podaniem następnego twierdzenia przypomnijmy, że operujemy terminem
dla dostatecznie dużych n. Oznacza to, że interesują nas liczby