Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

3.3. Granica funkcji 109
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) i istnieją granice lim f(x), lim h(x) oraz lim f(x) =
x→p x→p x→p
h(x), to również funkcja g ma granicę w punkcie p i zachodzi równość
lim
x→p
lim
x→p
f(x) = lim g(x) = lim h(x).
x→p x→p
Z następnego twierdzenia w zasadzie nie będziemy korzystać, podajemy je
tylko po to, by pokazać, pełną analogię pojęcia granicy ciągu i granicy funkcji.
Łatwy dowód pozostawiamy czytelnikom w charakterze zadania.
TWIERDZENIE 3.11 (Cauchy’ego o istnieniu granicy skończonej). Funkcja
f ma granicę skończoną w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest
następujący warunek Cauchy’ego: dla każdego ε > 0, dla wszystkich x,y ≠ p
dostatecznie bliskich p zachodzi nierówność |f(x) − f(y)| < ε. (w.C)
Twierdzenie, które znajduje się poniżej ma bardzo prosty dowód. Jest ono
bardzo często stosowane.
TWIERDZENIE 3.12 (o granicy złożenia dwu funkcji). Załóżmy, że dziedzina
funkcji f zawiera zbiór wartości funkcji g, że lim g(x) = G, że granica G
x→p
jest punktem skupienia dziedziny funkcji f i lim g(y) = H w punkcie G oraz że
y→G
wartości funkcji g w punktach dostatecznie bliskich p są różne od G. Przy tych
założeniach funkcja f ◦ g określona wzorem (f ◦ g)(x) = f(g(x))ma w punkcie
p granicę i lim f(g(x)) = H. Założenia tego twierdzenia są tak dobrane, że
x→p
dowód wynika od razu z definicji ciągowej granicy funkcji w punkcie.
Przed podaniem twierdzenia o istnieniu granic jednostronnych funkcji monotonicznej
omówimy pojęcie kresu zbioru i kresu funkcji. Rozpoczniemy od
definicji.
DEFINICJA 3.13 (kresów).
1. Kresem górnym zbioru niepustego A ⊆ R nazywamy taki element M
zbioru R, że dla każdego a ∈ A zachodzi nierówność a ≤ M oraz że jeśli
M ′ < M, to istnieje a ∈ A, dla którego a > M ′ . Innymi słowy: M jest
najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru A. Piszemy supA.
2. Kresem górnym M funkcji f nazywamy kres górny zbioru jej wartości,
tj. taki najmniejszy element M zbioru R, że f(x) ≤ M dla każdego argumentu
x funkcji f. Piszemy supf.
3. Kresem dolnym zbioru niepustego A ⊆ R nazywamy taki element M
zbioru R, że dla każdego a ∈ A zachodzi nierówność a ≥ M oraz że jeśli
M ′ > M, to istnieje a ∈ A, dla którego a < M ′ . Innymi słowy: M jest
największym ograniczeniem dolnym zbioru A. Piszemy inf A.
4. Kresem dolnym M funkcji f nazywamy kres dolny zbioru jej wartości,
tj. taki największy element M zbioru R, że f(x) ≥ M dla każdego argumentu
x funkcji f. Piszemy inf f.