Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

2.6. Szeregi potęgowe I 89
(
na to, że ta definicja, którą podaliśmy, e x = lim 1 +
x n,
n→∞ n)
może być na tym
poziomie zaawansowania łatwiej powiązana z zastosowaniami i to w zrozumiały
sposób. Nadmienić wypada, że po przykładzie 2.10 niewiele już zostało do
zrobienia, by otrzymać wszystkie własności funkcji wykładniczej na właśnie
opisanej drodze. Dobrym i jednocześnie prostym ćwiczeniem byłoby wykazanie
∞∑
x
nierówności
n
≥ 1 + x dla ujemnych liczb rzeczywistych x za pomocą
n!
n=0
operacji na szeregach.
2.6. Szeregi potęgowe I
Rozpoczniemy od definicji szeregu potęgowego.
DEFINICJA 2.23 (szeregu potęgowego 5 ). Szeregiem potęgowym o środku
w punkcie x 0 i współczynnikach a 0 , a 1 , a 2 ,... nazywamy szereg postaci
∞∑
a n (x − x 0 ) n .
n=0
W poprzednim rozdziale okazało się, że funkcja wykładnicza o podstawie
e jest sumą szeregu potęgowego o środku w punkcie 0. W przykładzie 2.9
znajduje się obietnica wykazania, że analogiczne twierdzenie jest prawdziwe
również dla sinusa i kosinusa. Przed realizacją tych obietnic w następnych rozdziałach
warto zapoznać się z kilkoma podstawowymi własnościami szeregów
potęgowych. Oczywiście można rozpatrywać jedynie szeregi o środku w punkcie
0, bowiem podstawienie y = x −x 0 przekształca szereg o środku w punkcie
x 0 na szereg o środku w punkcie 0. W dalszym ciągu będziemy zajmować się
szeregami o środku w punkcie 0. Pierwsze pytanie, jakie się nasuwa, to: jak
wygląda zbiór tych wszystkich punktów x, dla których szereg potęgowy jest
zbieżny, a jak tych, dla których zbieżność jest bezwzględna? Oczywiście odpowiedź
w znacznym stopniu zależy od ciągu (a n ). Rozpoczniemy od kilku
przykładów.
Przykład 2.11. Szereg ∞ ∑
n=0
x n
n!
jest zbieżny bezwzględnie dla wszystkich liczb
rzeczywistych x, co zostało wykazane w podrozdziale 1.9.
∑
Przykład 2.12. Szereg ∞ n! · x n jest zbieżny tylko dla x = 0. Wykażemy,
n=0
że tak jest rzeczywiście . Dla x = 0 szereg wygląda tak: 1 + 0 + 0 + 0 + ..., ∣ ∣∣
więc jest zbieżny. Załóżmy teraz, że x ≠ 0 oraz że n ≥ 1. Mamy ∣ (n+1)!·xn+1
n!·x =
n
= ∣ ∣(n + 1)x ∣ −−−−→ + ∞. Wynika stąd, że od pewnego miejsca zachodzi
n→∞
5 W przypadku szeregów potęgowych i wielomianów przyjmujemy, że 0 0 = 1, w innych przypadkach
symbol 0 0 traktujemy jako symbol nieoznaczony.