Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

3.4. Funkcje monotoniczne 111
Niech A będzie niepustym, ograniczonym z góry zbiorem złożonym z liczb
rzeczywistych. Niech M będzie ograniczeniem górnym zbioru A, tzn. dla każdej
liczby x ∈ A zachodzi nierówność x ≤ M i niech a będzie jakimkolwiek
elementem zbioru A. Zdefiniujemy dwa ciągi: niemalejący (a n ), którego wyrazy
będą elementami zbioru A, i nierosnący (M n ), którego wyrazy będą ograniczeniami
górnymi zbioru A. Niech a 0 = a, M 0 = M i c 0 = 1(a 2 0 + M 0 ). Jeśli c 0
jest ograniczeniem górnym zbioru A, to definiujemy a 1 = a 0 i M 1 = c 0 . Jeżeli
c 0 nie jest ograniczeniem górnym zbioru A, to w zbiorze A można znaleźć element
a 1 większy niż c 0 , wtedy przyjmujemy M 1 = M 0 . Zdefiniowaliśmy więc
a 1 i M 1 w taki sposób, że M 1 jest ograniczeniem górnym zbioru A, a 1 ∈ A oraz
0 ≤ M 1 − a 1 ≤ M0−a0 . Analogicznie konstruujemy a
2 2 i M 2 : c 1 = 1(a 2 1 + M 1 );
jeśli c 1 jest ograniczeniem górnym zbioru A, to M 2 = c 1 i a 2 = a 1 ; jeśli nie, to
istnieje a 2 > c 1 , a 2 ∈ A, wtedy M 2 = M 1 itd. Ciąg (a n ) jest oczywiście niemalejący,
ciąg (M n ) nierosnacy. Z konstrukcji wynika, że M n+1 − a n+1 ≤ Mn−an .
2
Stąd wnioskujemy, że 0 ≤ M n −a n ≤ M0−a0 . Niech m = lim M
2 n n . Ponieważ dla
n→∞
każdego x ∈ A i dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność x ≤ M n ,
więc również w granicy mamy x ≤ m = lim M n , co oznacza, że m jest ograniczeniem
górnym zbioru A. Ponieważ dla każdej liczby naturalnej n zachodzi
n→∞
0 ≤ m − a n ≤ M n − a n ≤ 1 (M
2 n 0 − a 0 ) −−−−→ 0 i oczywiście a n ∈ A, więc
n→∞
mniejszego ograniczenia górnego nie ma, zatem supA = m. Dowód został
zakończony.
3.4. Funkcje monotoniczne
Rozpoczniemy od przypomnienia definicji funkcji niemalejących i nierosnących,
ściśle malejących i ściśle rosnących.
DEFINICJA 3.14 (funkcji monotonicznych i ściśle monotonicznych). Funkcja
f określona na zbiorze, którego elementami są liczby rzeczywiste, jest:
1) ściśle rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x, y
konsekwencją nierówności x < y jest nierówność f(x) < f(y);
2) ściśle malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów
x, y konsekwencją nierówności x < y jest nierówność f(x) > f(y);
3) nierosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x, y
konsekwencją nierówności x < y jest nierówność f(x) ≥ f(y);
4) niemalejąca wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x, y
konsekwencją nierówności x < y jest nierówność f(x) ≤ f(y).
Znów mamy do czynienia z rozszerzeniem pojęcia z ciągów na funkcje.
Podamy tylko jeden przykład, wcześniej było już ich wiele dla ciągów monotonicznych.
Niech f(x) = 1 dla x ≠ 0. Zauważmy, że w całej dziedzinie funkcja
x