Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

4.4. Symbole nieoznaczone, reguła de l’Hospitala 175
cze k − 1 razy, dochodzimy w końcu do granicy
x
lim
a
x→+ ∞ e x
= 0. Oczywiście
wynik ten można otrzymać, stosując jedynie elementarne metody: wykładnik
a można zastąpić liczbą naturalną m większą od a, następnie skorzystać z nierówności
e x > ( 1 + x n) n
prawdziwej dla każdej liczby naturalnej n i każdej
liczby x > 0, następnie skorzystać z tego, że granicą ilorazu wielomianu stopnia
m przez wielomian stopnia n > m przy x → ∞ jest liczba 0. Pokazaliśmy
tu po prostu, jak można wykorzystać twierdzenie de l’Hospitala. Ta metoda
pozwala na obliczanie granic w wielu sytuacjach, metody elementarne bywają
trudne w zastosowaniach – trzeba mieć dobry pomysł!
ln x
Przykład 4.37. lim = 0 dla każdego a > 0 – ten wynik już był
x→+ ∞ x a
omawiany w rozdziale pierwszym, ale pokażemy, jak można go uzyskać za
pomocą reguły de l’Hospitala. Ponieważ mianownik jest funkcją ściśle rosnącą
o granicy + ∞, więc spróbujemy obliczyć granicę ilorazu pochodnych:
1/x
1
lim = lim = 0. Wobec tego istnieje również granica ilorazu funkcji
i również jest równa
x→+ ∞ ax a−1 x→+ ∞ ax a 0.
Przykład 4.38. lim
x→0 + x x = 1. Mamy bowiem: x x = e x ln x . Funkcja wykładnicza
jest ciągła, więc wystarczy wykazać, że lim
x→0 + xln x = 0. Mamy:
lim
x→0 + xln x = lim
x→+ ∞
1
y ln 1 y = − lim ln y
y→+ ∞ y = 0.
Ostatnia równość wynika z rezultatu uzyskanego w poprzednim przykładzie
dla a = 1, przedostatnia – z tego, że ln 1 = − ln y.
y
(
Przykład 4.39. lim(1+x) 1/x = e – to wzmocnienie wyniku lim 1 +
1 n
x→0 n→∞ n)
=
= e. Dzięki oczywistej równości (1 + x) 1/x = e (1/x)·ln(1+x) wiemy, że wystarczy
ln(1+x)
wykazać równość lim = 1. Ta równość została już wcześniej udowodnio-
x→0 x
= lim , więc granica ta jest równa pochodnej
ln(1+x)
na, zresztą lim
x→0 x
ln(1+x)−ln1
x→0 x
logarytmu naturalnego w punkcie 1 (to wniosek z definicji pochodnej, reguła
de l’Hospitala nie jest tu potrzebna), czyli 1 1 = 1.
Przykład 4.40. Pokażemy teraz w znacznie prostszy sposób niż w rozdziale
pierwszym, że ciąg (( 1 + n) 1 n )
jest wolno zbieżny do liczby e, więc nie należy
go używać do jej przybliżonego obliczania. Obliczymy mianowicie granicę
lim
n→∞
e−(1+ 1 n) n
1
n
. W tym celu wystarczy obliczyć granicę lim
e−(1+x) 1/x
x→0
x
. Z istnienia
tej ostatniej wynika oczywiście istnienie poprzedniej (definicja granicy
wg Heinego), odwrotne wynikanie nie zachodzi. Z rezultatu z poprzedniego