Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

4.5. Szeregi potęgowe II 189
Z tego stwierdzenia wynika, że funkcja przypisująca liczbie x liczbę f(x)e −kx
jest stała na przedziale (a,b), zatem istnieje taka liczba rzeczywista C, że dla
każdego x ∈ (a,b) zachodzi równość f(x)e −kx = C, czyli f(x) = Ce kx .
Czytelnik zechce zwrócić uwagę na to, że tym razem założyliśmy coś o zachowaniu
się funkcji na pewnym przedziale, a nie na całej prostej, oraz na to,
że dowód jest bardzo krótki.
Przykład 4.50. Z twierdzenia o wzroście wykładniczym można np. wywnioskować
bez trudu znany już wzór e x = ∞ x n
. Można po prostu sprawdzić,
∑
że
szereg ∞ ∑
n=0
x n
n!
n=0
n!
jest zbieżny dla wszystkich liczb rzeczywistych x:
|x| n+1 /(n + 1)! |x|
lim
= lim
n→∞ |x| n /n! n→∞ n + 1 = 0 < 1,
więc z kryterium ilorazowego d’Alemberta wynika zbieżność bezwzględna dla
każdego x ≠ 0. Teraz oznaczymy sumę tego szeregu przez f(x) i sprawdzimy,
że wtedy f ′ (x) = f(x) (bardzo prosty rachunek) i wobec tego f(x) = Ce x
dla pewnej liczby rzeczywistej C i wszystkich liczb rzeczywistych x. Pozostaje
znaleźć stałą C. Mamy 1 = f(0) = Ce 0 = C.
Przykład 4.51. W podobny sposób można uzasadnić słuszność wzorów:
Jeśli x ≠ 0, to:
sin x =
∞∑ (−1) n
(2n + 1)! x2n+1 i cos x =
n=0
∞∑
n=0
(−1) n
(2n)! x2n .
|x| 2n+3 /(2n + 3)!
lim
|x| 2n+1 /(2n + 1)! = lim
n→∞(2n + 2)(2n + 3) = 0 < 1,
n→∞
więc szereg ∞ ∑
n=0
(−1) n
(2n+1)! x2n+1 jest zbieżny bezwzględnie dla każdej liczby rzeczywistej
x ≠ 0. Drugi szereg również jest zbieżny bezwzględnie, co można uzasadnić
w taki sam sposób lub zauważyć, że zachodzi wzór
n
(2n+1)! x2n+1 =
( ∑ ∞ ) ′
(−1)
n=0
∑
= ∞ (−1) n
(2n)! x2n , ten ostatni szereg jest zbieżny jako pochodna szeregu potęgo-
n=0
wego! Mamy też:
( ∑ ∞
(−1) n ) ′ ∑ ∞
(−1) n
∞∑ (−1) n
(2n)! x2n =
(2n − 1)! x2n−1 = −
(2n + 1)! x2n+1
n=0
i (cos x) ′ = − sinx.
n=1
x 2
n=0