Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

106 3. Funkcje ciągłe
naturalne większe od pewnej liczby. Właściwie chodzi o to, by były one bliskie
+ ∞. W przypadku funkcji argument, którym w ciągu jest numer wyrazu, czyli
n, ma być bliski punktowi p, który może być – lecz nie musi – równy + ∞.
Zmiany wymaga więc sposób mówienia. Mówiąc: x jest dostatecznie bliski
p, będziemy mieć na myśli, że:
a) x > M dla pewnej liczby rzeczywistej M, gdy p = + ∞,
b) x < M dla pewnej liczby rzeczywistej M, gdy p = − ∞,
c) |x − p| < δ dla pewnej dodatniej liczby δ, gdy p ∈ R.
TWIERDZENIE 3.8 (o szacowaniu).
3.8.1. Jeśli C < lim f(x), to dla x ≠ p, dostatecznie bliskich p zachodzi
x→p
nierówność C < f(x).
3.8.2. Jeśli C > lim f(x), to dla x ≠ p, dostatecznie bliskich p zachodzi
x→p
nierówność C > f(x).
3.8.3. Jeśli lim g(x) < lim f(x), to dla x ≠ p, dostatecznie bliskich p
x→p x→p
zachodzi nierówność g(x) < f(x).
3.8.4. Jeśli g(x) ≤ f(x) dla x ≠ p, dostatecznie bliskich p, to zachodzi
nierówność lim
x→p
g(x) ≤ lim
x→p
f(x).
Dowód. Zakładamy cały czas, że p jest punktem skupienia dziedziny funkcji.
Zauważmy najpierw, że zaprzeczeniem zdania: „dla wszystkich x ≠ p
dostatecznie bliskich p spełniony jest pewien warunek W” jest zdanie
„istnieje taki ciąg (xn) zbieżny do p, że xn ≠ p dla każdego n
i warunek W nie zachodzi dla żadnego wyrazu ciągu (xn)”.
Jeśli na przykład p = + ∞ i nie jest prawdą, że warunek W spełniony jest
dla wszystkich x dostatecznie bliskich p = + ∞, to dla każdej liczby rzeczywistej
M istnieje liczba x > M, dla której warunek W nie zachodzi. By otrzymać
ciąg (x n ), którego granicą jest ∞, złożony z liczb, dla których warunek W nie
zachodzi, wystarczy przyjąć, że M = n i określić x n jako liczbę większą niż
M = n, dla której warunek W nie jest spełniony. Jeśli natomiast istnieje taki
ciąg (x n ), którego granicą jest + ∞, że warunek W nie jest spełniony dla
żadnego (x n ), to warunek W nie jest spełniony dla wszystkich dostatecznie
dużych x, czyli nie jest spełniony dla wszystkich x dostatecznie bliskich + ∞.
Analogicznie postępujemy w przypadku p = − ∞.
Jeśli p ∈ R, to dla każdego δ > 0 istnieje takie x, że x ≠ p i |x −p| < δ, dla
którego warunek W nie zachodzi. By zdefiniować x n przyjmujemy, że δ = 1 n .
Z istnienia ciągu (x n ) złożonego z liczb, dla których warunek W nie zachodzi,
wynika od razu, że nie jest możliwe, by warunek W był spełniony dla
wszystkich x dostatecznie bliskich p.
Możemy teraz zająć się właściwym dowodem. Załóżmy, że lim
x→p
f(x) < C
oraz że nie jest prawdą, że dla x dostatecznie bliskich p zachodzi nierówność