Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

46 1. Ciągi nieskończone
Oznacza to, że od pewnego momentu wartości bezwzględne składników
n∑ (
sumy n
) ( x
) j
j n maleją. Stąd i z tego, że składniki odpowiadające parzystym
j =0
j są dodatnie, zaś nieparzystym j – ujemne, wynika, że nierówność:
(
1 + x ) n
(
≥ 1 + x + 1 − 1 ) x
2
(1
n
n 2! + − 1 ) (
· 1 − 2 ) x
3
n n 3! + · · · +
(
+ 1 − 1 ) (
· 1 − 2 ) (
· · · · · 1 − k − 1 ) x
k
n n
n k!
pozostaje prawdziwa przy założeniu, że k jest liczbą nieparzystą oraz n > k >
> |x| = −x; dla parzystego k zachodzi nierówność przeciwna. Załóżmy teraz,
że k jest liczbą parzystą. Wobec tego możemy napisać:
(
1 + x + 1 − 1 ) x
2
(1
n 2! + − 1 ) (
· 1 − 2 ) x
3
n n 3! + ...
(
+ 1 − 1 ) (
· 1 − 2 ) (
· · · · · 1 − k − 1 ) x
k
n n
n k! ≥
(
≥ 1 +
n) x n
≥
(
≥ 1 + x + 1 − 1 ) x
2
(1
n 2! + − 1 ) (
· 1 − 2 ) x
3
n n 3! + ...
(
+ 1 − 1 ) (
· 1 − 2 ) (
· · · · · 1 − k ) x
k+1
n n n (k + 1)! .
Przechodząc do granicy przy n → ∞, otrzymujemy nierówność podwójną:
1 + x + x2
2! + · · · + xk
k! ≥ ex ≥ 1 + x + x2
2! + · · · + xk
k! + xk+1
(k + 1)!
Stąd wynika, że:
0 ≥ e x −
) (1 + x + x2
2! + · · · + xk
≥ xk+1
k! (k + 1)!.
x
Biorąc pod uwagę, że lim
k+1
= 0, możemy stwierdzić, iż:
k→∞
(k+1)!
(
)
e x = exp(x) = lim 1 + x + x2
k→∞ 2! + · · · + xk
=
k!
Podamy przybliżenia pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu ( 1 + 1 1! + 1 2! +
+ · · · + 1 n!)
:
∞∑
k=0
x k
k! .