Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...
Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...
Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
22 1. Ciągi nieskończone<br />
DEFINICJA 1.15 (podciągu). Jeśli (n k ) jest ściśle rosnącym ciągiem liczb<br />
naturalnych, to ciąg (a nk ) nazywany jest podciągiem ciągu (a n ).<br />
Na przykład ciąg a 2 , a 4 , a 6 ,... , czyli ciąg (a 2k ) jest podciągiem ciągu (a n )<br />
– w tym przypadku n k = 2k. Ciąg a 2 , a 3 , a 5 , a 7 , a 11 ,... jest podciągiem ciągu<br />
(a n ) – w tym przypadku n k jest k–tą liczbą pierwszą. Przykłady można<br />
mnożyć, ale zapewne starczy powiedzieć, że chodzi o wybranie nieskończenie<br />
wielu wyrazów wyjściowego ciągu bez zmiany kolejności, w jakiej występowały.<br />
Jest jasne, że jeśli g jest granicą ciągu, to jest również granicą każdego jego<br />
podciągu, wynika to od razu z definicji granicy i definicji podciągu. Łatwe<br />
w dowodzie jest też twierdzenie pozwalające na zbadanie skończenie wielu podciągów<br />
danego ciągu, właściwie wybranych, i wnioskowanie istnienia granicy<br />
z istnienia wspólnej granicy wybranych podciągów.<br />
TWIERDZENIE 1.16 (o scalaniu) 4 . Załóżmy, że z ciągu (a n ) można<br />
wybrać dwa podciągi (a kn ) i (a ln ) zbieżne do tej samej granicy g, przy czym<br />
każdy wyraz ciągu (a n ) jest wyrazem co najmniej jednego z tych podciągów,<br />
tzn. dla każdego n istnieje takie m, że n = k m lub n = l m . Wtedy wspólna<br />
granica obu tych podciągów jest granicą ciągu (a n ): lim<br />
n→∞<br />
a n = g. ×<br />
Sformułujemy teraz bardzo ważne twierdzenie, które będzie wielokrotnie<br />
stosowane w dowodach.<br />
TWIERDZENIE 1.17 (Bolzano–Weierstrassa). Z każdego ciągu można wybrać<br />
podciąg, który ma granicę (skończoną lub nie). ×<br />
Wniosek 1.18 (z twierdzenia Bolzano–Weierstrassa). Ciąg ma granicę wtedy<br />
i tylko wtedy, gdy granice wszystkich tych jego podciągów, które mają<br />
granice, są równe. ×<br />
Następne twierdzenie, w zasadzie już częściowo udowodnione, wykazał<br />
Cauchy, jeden z twórców analizy matematycznej.<br />
TWIERDZENIE 1.19 (Cauchy’ego). Ciąg (a n ) ma granicę skończoną wtedy<br />
i tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek:<br />
dla każdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba naturalna n ε , że<br />
jeśli k,l > n ε , to |a k − a l | < ε. ×<br />
(wC)<br />
Zdanie oznaczone symbolem (wC) nazywane jest zwykle warunkiem Cauchy’ego.<br />
Twierdzenie Cauchy’ego, podobnie jak twierdzenie o istnieniu granicy<br />
4 Ta nazwa to pomysł autora, który ma nadzieję, że będzie on przydatny.
Change language