Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

76 2. Szeregi nieskończone
Założenie istnienia granicy skończonej dodatniej można interpretować tak:
wyrazy szeregów dążą do 0 w tym samym tempie (o ile do 0 dążą), z tego
założenia wynika, iż albo oba są zbieżne, albo oba rozbieżne. Zanim przejdziemy
do przykładów, podamy jeszcze jedną wersję twierdzenia pozwalającego
porównywać szeregi o wyrazach dodatnich.
TWIERDZENIE 2.10 (drugie kryterium porównawcze). Załóżmy, że od
pewnego miejsca wyrazy szeregów ∑ a n i ∑ b n są dodatnie oraz an+1
a n
≤ bn+1
b n
.
W tej sytuacji:
1) ze zbieżności szeregu ∑ b n wynika zbieżność szeregu ∑ a n ;
2) z rozbieżności szeregu ∑ a n wynika rozbieżność szeregu ∑ b n .
Dowód. Nierówność an+1
Znaczy to, że ciąg
( )
a n
b n
a n
≤ bn+1
b n
można przepisać w postaci
a n+1
b n+1
≤ an
b n
.
jest nierosnący i ma wyrazy dodatnie, więc jest też
ograniczony z góry przez pewną liczbę rzeczywistą M > 0 (jeśli „od pewnego
miejsca” znaczy „od początku”, to można przyjąć, że M = a0
b 0
). Wobec tego
ma miejsce nierówność 0 ≤ a n ≤ M · b n . Z tej nierówności i z kryterium
porównawczego teza wynika natychmiast. Dowód został zakończony.
Na ostatnią wersję kryterium porównawczego spojrzeć można tak: wyrazy
szeregu ∑ a n dążą do 0 szybciej niż wyrazy szeregu ∑ b n , więc jeśli szereg
∑
bn jest zbieżny, to również szereg ∑ a n jest zbieżny, jeśli natomiast szereg
∑
an jest rozbieżny, to również szereg ∑ b n jest rozbieżny – oczywiście myślimy
tylko o szeregach, których wyrazy dążą do 0, bo inne są rozbieżne.
Podamy teraz kilka przykładów szeregów zbieżnych i rozbieżnych.
Przykład 2.3. Szereg ∞ ∑
1
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy p > 1.
n p n=1
W przypadku p ≤ 0 wyrazy szeregu nie dążą do 0, więc szereg jest rozbieżny.
Natomiast w przypadku p > 0 wyrazy szeregu dążą do 0 i tworzą ciąg
malejący, więc możemy zastosować kryterium Cauchy’ego o zagęszczaniu: zamiast
szeregu ∑ a n można badać szereg ∑ 2 n 1 = ∑ 1
(2 n ) p (2 p−1 )
n. Otrzymaliśmy
1
więc szereg geometryczny o ilorazie . Ten iloraz jest zawsze dodatni. Jest
2
mniejszy niż 1 wtedy i tylko wtedy, gdy p−1 p > 1. Dowód został zakończony.
Przykład 2.4. Szereg ∞ ∑
1
nln p n
n=2
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy p > 1.
Dowód przebiegnie podobnie jak w przykładzie poprzednim. Jeśli p ≤ 0,
1
to dla każdego n ≥ 3 mamy = ln p n ln−p n ≥ 1, zatem 1 ≥ 1. Wobec
nln p n n
∑
tego w tym przypadku rozbieżność szeregu ∞ 1
wynika z rozbieżności
znanego nam już szeregu ∞ ∑
1
n
n=1
n ln p n
n=2
. W przypadku p > 0 stosujemy kryterium Cauchy’ego
o zagęszczaniu (wyrazy są dodatnie i maleją), badamy więc szereg