Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...
Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...
Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
3.3. Granica funkcji 103<br />
e<br />
Przykład 3.3. lim<br />
x −1<br />
= 1. Tę równość wykazaliśmy w punkcie 1.09 rozdziału<br />
pierwszego, lemat<br />
x→0 x<br />
1.39.<br />
(<br />
Przykład 3.4. lim 1 +<br />
1 x<br />
x→∞ x)<br />
= e. Tę równość wykażemy teraz. Wykażemy,<br />
że dla każdego ciągu (x n ), którego granicą jest ∞, zachodzi równość<br />
lim<br />
n→∞<br />
( ) xn<br />
1 + 1<br />
x n<br />
= e. Wiemy, że jest tak w przypadku xn = n – bezpośrednio z<br />
definicji liczby e. Przypomnijmy też, że ciąg ( 1 + n) 1 n<br />
jest rosnący. Stąd wynika,<br />
że jeśli k > n jest liczbą naturalną, to ( 1 + 1 n) n<br />
<<br />
(<br />
1 +<br />
1<br />
k) k<br />
< e. Stąd i z de-<br />
) kn<br />
finicji granicy wynika, że jeśli lim k n = + ∞, k n ∈ N, to lim 1 + 1<br />
n→∞ k n<br />
= e<br />
– jeśli bowiem m jest jakąkolwiek liczbą naturalną, to dla dostatecznie dużych<br />
liczb naturalnych n, zachodzi nierówność k n > m, zatem ( 1 + m) 1 m<br />
<<br />
( ) kn<br />
< 1 + 1<br />
k n<br />
< e. Teraz możemy przejść do właściwego dowodu. Niech<br />
lim x n = + ∞, x n ∈ R. Bez straty ogólności rozważań można przyjąć, że<br />
n→∞<br />
dla każdego n zachodzi nierówność x n ≥ 1, gdyż jest tak dla dostatecznie<br />
dużych n. Niech k n będzie taką liczbą całkowitą, że k n ≤ x n < k n + 1 – taka<br />
liczba k n istnieje dokładnie jedna. Ponieważ x n − 1 < k n , więc lim k n = + ∞.<br />
n→∞<br />
Stąd i z tego, co wykazaliśmy poprzednio, wynika, że:<br />
Mamy również:<br />
n→∞<br />
(<br />
(<br />
lim 1 + 1 ) kn<br />
(<br />
= e = lim 1 + 1 ) 1+kn<br />
.<br />
n→∞ 1 + k n n→∞ k n<br />
(<br />
1 + 1 ) kn<br />
(<br />
≤ 1 + 1 ) xn<br />
(<br />
< 1 + 1 ) xn<br />
(<br />
≤ 1 + 1 ) xn<br />
<<br />
1 + k n 1 + k n x n k n<br />
<<br />
(<br />
1 + 1<br />
k n<br />
) 1+kn<br />
.<br />
Z tej nierówności i twierdzenia o trzech ciągach wynika dowodzona przez<br />
nas teza.<br />
Przykład 3.5. Funkcja 1 , określona dla x ≠ 0, nie ma granicy w punkcie 0,<br />
x<br />
1<br />
1<br />
bowiem lim = + ∞ i jednocześnie lim = − ∞. Udało się nam więc<br />
n→∞ 1/n n→∞ −1/n<br />
wskazać takie dwa ciągi argumentów zbieżne do 0, że odpowiadające im ciągi<br />
wartości mają różne granice.<br />
Przykład 3.6. Funkcja sin 5 , określona dla x ≠ 0, nie ma granicy w punkcie<br />
0, bowiem sin = 0 oraz sin 5<br />
x<br />
5<br />
= 1. Wskazaliśmy więc takie<br />
5/(2nπ) 5/(2nπ+π/2)<br />
dwa ciągi argumentów, że odpowiadające im ciągi wartości są stałe i różne.
Change language