Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

164 4. Funkcje różniczkowalne
spodziewać, że w tym przypadku wzór f(p + h) ≈ f(p) + f ′ (p)h będzie bardzo
niedokładny: funkcja wykładnicza zagina się mocno ku górze, odchodząc
szybko od stycznej do siebie w jakimś punkcie, np. w (49,e 49 ). W przypadku
funkcji kwadratowej x 2 pochodna wzrasta od wartości 98 do wartości 100,
a więc zmiana jej wartości jest znacznie mniej spektakularna, niemniej i w tym
przypadku wykres funkcji oddala się od stycznej w widoczny sposób, też ku
górze. W przypadku funkcji √ x pochodna maleje, ale bardzo powoli, więc
wykres odchyla się od stycznej ku dołowi. Efekt ten jest jednak nieznaczny:
wykres nieomal pokrywa się ze styczną, więc przybliżenie liniowe działa bardzo
dobrze.
Przykład 4.28. Przy różnych okazjach na lekcjach fizyki w szkołach wykorzystywana
jest równość przybliżona sinx ≈ x, np. w optyce przy wyprowadzaniu
równania soczewki lub zwierciadła, przy wyprowadzania wzoru na
okres wahań wahadła matematycznego. Jest to zastosowanie omawianej przez
nas równości przybliżonej f(p + h) ≈ f(p) + f ′ (p)h w przypadku funkcji sin,
p = 0, h = x. W tym przypadku f(0) = sin0 = 0 i f ′ (0) = cos 0 = 1
i wobec tego f(p) + f ′ (p)h = x. Wykazaliśmy poprzednio (przykład 4.17),
że dla x > 0 zachodzi nierówność podwójna x − x3
< sin x < x, więc błąd
6
przybliżenia sin x ≈ x jest mniejszy niż x3
. Jeśli więc kąt x jest mały, to ten
6
błąd jest bardzo mały, np. jeśli x = 1 , to błąd jest mniejszy niż 1
. Wypada
przypomnieć, że mowa o wielkości kąta wyrażonej w radianach, 1 radian
10 6000
to nieco ponad 57 ◦ . Człowieka o wzroście 2 m, więc niższego niż np. Małgorzata
Dydek (koszykarka z Gdańska, jedna z najwyższych na świecie), widać
z odległości 200 m pod kątem około 0,01 radiana, więc mówimy o rzeczywiście
istniejących kątach, małych, ale nie znikomo małych, występujących
niezwykle rzadko. Rachunek różniczkowy pozwala oszacować błąd nie tylko
z góry, ale również z dołu. W tym przypadku można posłużyć się metodą zastosowaną
we wspomnianym przykładzie 4.17 w celu wykazania nierówności
sinx < x − x3
+ x5
, która zachodzi dla x > 0. Z tej nierówności wynika natychmiast,
że x3
− x5
x3
6 120
< x − sin x < , a więc błąd przybliżenia jest większy
6 120 6
niż x3
− x5
x3
i mniejszy niż . Gdybyśmy zainteresowali się błędem względnym,
6 120 6
tj. wielkością x−sin x , to okazałoby się, że dla 0 < x < 0,1 jest on mniejszy niż
x
1
6 (0,1)2 = 1 , czyli mniejszy niż 1 %. To całkiem dobra dokładność.
600 6
Przykład 4.29. Niech f(x) = e x , p = 0. Mamy f ′ (0) = e 0 = 1 i f(0) =
= e 0 = 1, zatem e x ≈ 1 + x. Zbadamy dokładność tego przybliżenia dla
x > 0. W przykładzie 4.21 wykazaliśmy, że dla x > 0 zachodzi nierówność e x >
> 1+x+ 1 2 x2 . Wobec tego błąd przybliżenia jest większy niż 1 2 x2 . Oszacujemy
go teraz z góry. Pokażemy trzy metody.
Metoda pierwsza. Znajdziemy taką liczbę a > 0, że dla wszystkich
x ∈ (0,3) zachodzi nierówność e x − 1 − x < ax 2 . Przyjmijmy f(x) =
= e x − 1 − x − ax 2 . Mamy f ′ (x) = e x − 1 − 2ax oraz (f ′ ) ′ (x) = e x − 2a.