Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

90 2. Szeregi nieskończone
nierówność |(n+1)! ·x n+1 | > |n! ·x n |, która przeczy temu, że ciąg (n! ·x n ) jest
∑
zbieżny do 0. Wobec tego dla x ≠ 0 szereg ∞ n! · x n jest rozbieżny.
Przykład 2.13. Szereg ∞ ∑
n=1
x n n
n=0
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy −1 ≤ x <
< 1, przy czym jeśli |x| < 1, to zbieżność jest bezwzględna. Dla x = 0 otrzymujemy
szereg, którego wszystkie wyrazy są równe 0, więc zbieżny bezwzględnie.
Dla x = 1 otrzymujemy znany nam już szereg harmoniczny, więc rozbieżny.
Dla x = −1 otrzymujemy szereg 1 − 1 + 1 − 1 + ..., który zgodnie z wcześniejszymi
rezultatami jest zbieżny warunkowo. W pozostałych przypadkach
2 3 4
∑
działa kryterium d’Alemberta. Wynika z niego, że szereg ∞ x n jest zbieżny
n
n=1
bezwzględnie dla |x| < 1 oraz rozbieżny w przypadku |x| > 1: ∣ xn+1 /(n+1)
x n /n
∣ =
= n |x| −−−−→ |x|.
n+1 n→∞
∑
Przykład 2.14. Szereg ∞ x n
jest zbieżny bezwzględnie dla |x| ≤ 1 – wynika
n 2 n=1
∑
to ze zbieżności szeregu ∞ 1
i kryterium porównawczego. Jeśli |x| > 1, to
n 2
n=1
wyraz szeregu nie dąży do 0, więc szereg jest rozbieżny.
n=1
∑
Przykład 2.15. Szereg ∞ 2 n x n jest zbieżny bezwzględnie wtedy i tylko wtedy,
gdy |x| < 1 – wynika to natychmiast z własności szeregu geometrycznego.
2
Jeśli |x| ≥ 1 , to wyraz szeregu nie dąży do 0, więc szereg jest w tym przypadku
2
rozbieżny.
We wszystkich przypadkach otrzymaliśmy przedziały o środku w punkcie 0.
Mogły one zawierać końce lub nie. Mogły być skończone lub nieskończone. Zdarzyło
się też, że otrzymaliśmy przedział zdegenerowany do jednego punktu,
do 0. Sformułujemy teraz lemat, którego natychmiastową konsekwencją będzie
twierdzenie opisujące możliwe sytuacje.
n=0
LEMAT 2.24 (o zbieżności szeregu potęgowego). Jeśli szereg potęgowy
∞∑
∑
a n x n jest zbieżny dla x = x 1 i |x 2 | < |x 1 |, to szereg ∞ a n x n 2 jest bez-
∑
względnie zbieżny. Co więcej, dla każdej liczby naturalnej k szereg ∞ n k a n x n 2
jest bezwzględnie zbieżny.
n=0
n=0