Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

138 3. Funkcje ciągłe
166. Wykazać, że równanie 2 x = 4x ma co najmniej dwa pierwiastki rzeczywiste.
167. Wykazać, że zbiór wartości każdego wielomianu stopnia parzystego i dodatniego
jest półprostą domkniętą.
W następnych kilku zadaniach zajmiemy się punktami stałymi.
DEFINICJA 3.35 (punktu stałego). Liczba x 0 jest punktem stałym
funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f(x 0 ) = x 0 .
168. Niech f : [a,b] → [a,b] będzie funkcją ciągłą. Wykazać, że funkcja f ma
co najmniej jeden punkt stały.
169. Podać przykład takiej funkcji f : [a,b] → [a,b], że f(x) ≠ x dla każdej
liczby x ∈ [a,b], czyli funkcji f, która nie ma punktu stałego.
170. Wykazać, że jeśli f : R → R jest funkcją ciągłą i nierosnącą, to f ma
dokładnie jeden punkt stały.
171. Wykazać, że jeśli f : R → R jest zwężająca, tzn. istnieje taka liczba
nieujemna c < 1, że dla dowolnych x 1 ,x 2 ∈ R zachodzi |f(x 1 ) − f(x 2 )| ≤
c |x 1 − x 2 |, to funkcja f ma dokładnie jeden punkt stały. Czy R można zastąpić
przedziałem [a,b], (a,b), (a,b], jeśli a,b ∈ R?
172. Niech f(x) = 1 − 2|x| dla −1 ≤ x ≤ 1. Wykazać, że dla każdej liczby
naturalnej n istnieje taki punkt x n ∈ [−1,1], że f(f(f ...f(x } {{ } n ))) = x n , f
n
występuje z lewej strony równości dokładnie n razy i jednocześnie dla każdej
liczby k ∈ {1,2,... ,n − 1} zachodzi f(f(f ...f(x n ))) ≠ x n , tu f występuje k
razy.
To zadanie nie jest bardzo trudne, można je rozwiązać w przypadku n =
2,3 narysowawszy wykresy funkcji f ◦ f i f ◦ f ◦ f; to już da pewien pogląd
na problem.
DEFINICJA 3.36 (części całkowitej). [x] oznacza część całkowitą liczby
x, czyli największą liczbę całkowitą z półprostej (−∞,x], np. [3,14] = 3,
[−3,14] = −4, [−2] = −2, [99] = 99, [ √ 2] = 1, [− √ 2] = −2, [−e] = −3,
[e] = 2.
173. Znaleźć punkty ciągłości funkcji f, jeśli: f(x) = [x].
174. Znaleźć punkty ciągłości funkcji f, jeśli: f(x) = x[x].
175. Znaleźć punkty ciągłości funkcji f, jeśli: f(x) = (x − 1)[x].
176. Znaleźć punkty ciągłości funkcji f, jeśli: f(x) = [ |x| ] .