Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

1.8. Dowody 37
b n+1−b n
)
Dowód tw. 1.20 (Stolza). Bez straty ogólności rozważań można przyjąć,
że ciąg (b n ) jest ściśle rosnący – w razie potrzeby zastępujemy go ciągiem
(− b n ). Niech m,M będą takimi liczbami rzeczywistymi, że m < g < M, jeśli
g = −∞, to rozważamy jedynie M, jeśli g = +∞, to rozważamy jedynie m.
Niech m ′ ,M ′ będą takimi liczbami ( rzeczywistymi, że m < m ′ < g < M ′ <
< M. Ponieważ granicą ciągu
an+1−a n
jest g, więc istnieje taka liczba naturalna
n 0 , że dla n > n 0 zachodzi nierówność: m ′ < an+1−an
b n+1−b n
< M ′ , a po jej
pomnożeniu przez liczbę dodatnią b n+1 − b n otrzymujemy nierówność:
m ′ (b n+1 − b n ) < a n+1 − a n < M ′ (b n+1 − b n ),
m ′ (b n+2 − b n+1 ) < a n+2 − a n+1 < M ′ (b n+2 − b n+1 ),
..................................................
m ′ (b n+k − b n+k−1 ) < a n+k − a n+k−1 < M ′ (b n+k − b n+k−1 ).
Dodając stronami te nierówności, otrzymujemy:
m ′ (b n+k − b n ) < a n+k − a n < M ′ (b n+k − b n ). (1.1)
Skorzystawszy z założenia (ii), stwierdzamy, że wyrazy ciągu (b n ), rosnącego
i zbieżnego do 0, są ujemne, więc:
− mb n < − m ′ b n = lim m ′ (b n+k − b n ) ≤ − a n = lim (a n+k − a n ) ≤
k→∞ k→∞
≤ lim M ′ (b n+k − b n ) = −M ′ b n < −Mb n ,
k→∞
a zatem, po podzieleniu stronami przez − b n > 0, otrzymujemy m < an
b n
< M.
Liczby m,M były wybrane dowolnie, stwierdzamy więc, że zachodzi równość
a
g = lim n
n→∞ b n
, co kończy dowód w przypadku (ii).
Skorzystawszy z założenia (i), stwierdzamy, że od pewnego miejsca wyrazy
ciągu rosnącego (b n ), którego granica jest nieskończona, są dodatnie. Zwiększając
w razie potrzeby n 0 , możemy przyjąć, że ma to miejsce dla n > n 0
i tylko takie numery wyrazów ciągu będziemy rozpatrywać dalej. Podzielimy
nierówność (1.1) przez b n+k . Otrzymujemy:
(
m ′ 1 − b )
n
< a n+k
−
a (
n
< M ′ 1 − b )
n
,
b n+k b n+k b n+k b n+k
a stąd:
m ′ (
1 − b n
b n+k
)
+ a n
b n+k
< a n+k
b n+k
< M ′ (
1 − b n
b n+k
)
+ a n
b n+k
.