Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

1.8. Dowody 31
Dowód tw. 1.10 (o arytmetycznych własnościach granicy ciągu). Udowodnimy,
że suma granic dwóch ciągów jest granicą sumy tych ciągów. Załóżmy,
że g a = lim a n i g b = lim b n . Należy rozważyć trzy przypadki: g a , g b są
n→∞ n→∞
liczbami rzeczywistymi, g a jest liczbą rzeczywistą zaś g b jest symbolem nieskończonym,
g a , g b są symbolami nieskończonymi tego samego znaku.
Rozpoczniemy od granic skończonych, przypadku znanego z nauki w szkole.
Niech ε będzie dodatnią liczbą rzeczywistą i niech n ′ ε będzie taką liczbą
naturalną, że dla n > n ′ ε zachodzi nierówność |a n − g a | < ε . Niech n′′
2 ε będzie
taką liczbą naturalną, że nierówność |b n − g b | < ε zachodzi dla n > n′′
2 ε
i niech n ε oznacza większą z liczb n ′ ε, n ′′
ε. Wtedy dla n > n ε zachodzą obydwie
nierówności, zatem:
|a n + b n − (g a + g b )| ≤ |a n − g a | + |b n − g b | < ε 2 + ε 2 = ε.
Wynika z tego, że dla dostatecznie dużych liczb naturalnych n (czyli n > n ε )
różnica (a n + b n ) − (g a + g b ) ma wartość bezwzględną mniejszą niż ε, a to
oznacza, że lim (a n +b n ) = g a +g b . Dowód twierdzenia o granicy sumy ciągów
n→∞
w tym przypadku został zakończony.
Zajmiemy się teraz następnym przypadkiem: niech liczba g będzie granicą
ciągu (a n ), czyli g = lim a n , i niech + ∞ = lim b n . Wykażemy, że
n→∞ n→∞
lim (a n + b n ) = + ∞. Niech M będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Istnieje
taka liczba naturalna n ′′ M−g+1, że dla n > n ′′ M−g+1 zachodzi nierówność
n→∞
b n > M − g + 1. Istnieje też taka liczba naturalna n ′ 1 , że dla n > n′ 1 zachodzi
nierówność |a n − g| < 1. Niech n M będzie większą z liczb n ′′ M−g+1 i n ′ 1. Dla
n > n M obie nierówności zachodzą, więc:
a n + b n = b n + g + (a n − g) ≥ b n + g − |a n − g| > (M − g + 1) + g − 1 = M .
Wykazaliśmy, że dla dostatecznie dużych liczb naturalnych n zachodzi nierówność
a n + b n > M, więc lim (a n + b n ) = + ∞. Dowód został zakończony.
n→∞
Jeśli więc ciąg (a n ) ma granicę skończoną i lim b n = − ∞, to na mocy
n→∞
poprzednio wykazanej części twierdzenia o granicy sumy ciąg ( −a n +(−b n ) ) ma
granicę i zachodzi równość lim (−a n − b n ) = − lim a n + lim (−b n ) = + ∞, co
n→∞ n→∞ n→∞
w świetle uwagi o granicy ciągu przeciwnego oznacza, że granica lim (a n +b n )
n→∞
istnieje i jest równa − ∞. Dowód został zakończony.
Został jeszcze jeden przypadek: obie granice są równe + ∞ lub obie są równe
− ∞. Z uwagi o zbieżności ciągu przeciwnego wynika, że dowód wystarczy
przeprowadzić, zakładając, że lim
a n = + ∞ = lim b n . Jeśli M jest dowol-
n→∞ n→∞
oraz n ′′ M , że jeśli
2
, to b n > M . Przyjmijmy, że n 2 M jest
ną liczbą rzeczywistą, to istnieją takie liczby naturalne n ′ M
2
n > n ′ M
2
, to a n > M 2 , zaś jeśli n > n′′ M
2