Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

2.5. Szeregi o wyrazach dowolnych 81
ciąg (c n ) jest ściśle rosnący i nieograniczony z góry. Mamy zatem b n+1 − b n =
= ln a n+1 −lna n oraz c n+1 −c n = 1, więc bn+1−bn
c n+1−c n
= ln a n+1 −lna n −−−−→ ln q.
n→∞
Dowód został zakończony.
Bez trudu można skonstruować ciąg (a n ) liczb dodatnich, dla którego granica
lim
√ a n
a n istnieje, ale nie istnieje granica lim
n+1
n→∞ n→∞ a n
: 1, 1, 1, 2, 1
, 3, 1
,
2 3 4
4, ... Sprawdzenie szczegółów pozostawiamy czytelnikowi w charakterze prostego
ćwiczenia.
Szereg geometryczny nie jest jedynym szeregiem „wzorcowym”. Wzorcem
∑
może być też np. szereg ∞ 1
. Bez dowodu podamy twierdzenie pozwalające
n p
n=1
na obliczanie „właściwego” wykładnika p.
TWIERDZENIE 2.14 (kryterium Raabego). Jeśli szereg ∑ ( )
a n ma wyrazy
a
dodatnie i istnieje granica lim n n
n→∞ a n+1
− 1 = p, to jeśli p > 1, to szereg ∑ a n
jest zbieżny, a w przypadku p < 1 – rozbieżny.
Zachęcamy czytelnika tego tekstu, by spróbował zastosować samodzielnie
∑
kryterium Raabego do szeregu ∞ 1
, a następnie skorzystał z otrzymanego
n p
n=1
wyniku i drugiego kryterium porównawczego dla dowodu kryterium Raabego.
Jest to pouczające ćwiczenie w liczeniu granic i porównywaniu szeregów.
Studenci ekonomii nie muszą pamiętać kryterium Raabego.
Te przykłady mogłyby sugerować, że można znaleźć najwolniej zbieżny
szereg i porównywać z nim wszystkie inne. Niestety można bez trudu udowodnić,
że dla każdego szeregu zbieżnego ∑ a n o wyrazach dodatnich
istnieje ciąg (b n ), którego granicą jest + ∞ i szereg ∑ a n b n jest zbieżny,
oczywiście wolniej niż wyjściowy szereg ∑ a n . Jest to na tyle proste
i nie wymagające żadnych obliczeń, że można to udowodnić, wracając do
domu tramwajem, autobusem lub piechotą po wykładzie, np. z analizy matematycznej.
2.5. Szeregi o wyrazach dowolnych
Rozpoczniemy od podania kryterium Leibniza, gdyż zostało ono już w istocie
rzeczy udowodnione, choć sformułujemy je dopiero teraz.
TWIERDZENIE 2.15 (kryterium Leibniza (1646–1716)). Jeśli ciąg (a n )
∑
jest monotoniczny i zbieżny do 0, to szereg ∞ (−1) n a n = a 0 − a 1 + a 2 − a 3 +
+ a 4 − a 5 + ... jest zbieżny.
n=0