Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

4.2. Badanie funkcji za pomocą pochodnych, ekstrema i monotoniczność 155
tomiast pochodna jest zerowa, to funkcja jest zarówno niemalejąca, jak i nierosnąca,
więc jest stała. Dowód został zakończony.
TWIERDZENIE 4.14 (o ścisłej monotoniczności funkcji różniczkowalnych).
Zakładamy jak poprzednio, że funkcja f jest ciągła w każdym punkcie przedziału
P oraz że jest różniczkowalna w każdym punkcie wewnętrznym przedziału
P. Przy tych założeniach funkcja f jest:
1) ściśle rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest nieujemna oraz
między każdymi dwoma punktami przedziału P znajduje się punkt, w którym
pochodna f ′ jest dodatnia;
2) ściśle malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest niedodatnia
oraz między każdymi dwoma punktami przedziału P znajduje się punkt,
w którym pochodna f ′ jest ujemna.
Dowód. Załóżmy, że funkcjaf jest ściśle rosnąca. Jest więc również niemalejąca
– na podstawie poprzedniego twierdzenia jej pochodna jest nieujemna.
Jeżeli x,y ∈ P i x < y, to w pewnym punkcie wewnętrznym z przedziału [x,y]
zachodzi nierówność f ′ (z) > 0, bowiem gdyby pochodna równa była 0 w każdym
punkcie przedziału [x,y], to funkcja f byłaby stała na tym przedziale,
czyli nie byłaby ściśle rosnąca. Zajmiemy się dowodem implikacji przeciwnej.
Zakładamy teraz, że f jest funkcją ciągłą, której pochodna jest nieujemna.
Z poprzedniego twierdzenia wnioskujemy, że f jest funkcją niemalejącą. Jeśli
nie jest ona ściśle rosnąca, to istnieją takie punkty x,y ∈ P, że x < y
i f(x) = f(y). Jeśli x < z < y, to f(x) ≤ f(z) ≤ f(y) = f(x), co oznacza, że
f(x) = f(z), a to z kolei oznacza, że f jest funkcją stałą na przedziale [x,y].
Z tego wynika, że f ′ (z) = 0 dla każdego punktu z ∈ [x,y], wbrew założeniu.
Druga część twierdzenia może być uzyskana z pierwszej przez rozważenie
funkcji −f zamiast funkcji f. Dowód został zakończony.
TWIERDZENIE 4.15 (o funkcji różniczkowalnej spełniającej warunek Lipschitza).
Zakładamy jak w twierdzeniach poprzednich, że funkcja f jest określona
na pewnym przedziale P, że jest na nim ciągła i że jest różniczkowalna
we wszystkich punktach wewnętrznych tego przedziału. Przy tych założeniach
funkcja f spełnia warunek Lipschitza ze stałą L ≥ 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 7
L ≥ sup{|f ′ (t)|: t ∈ int P }.
Dowód. Jeśli x,y ∈ P, to na mocy twierdzenia Lagrange’a o wartości
średniej istnieje taki punkt z leżący między x i y, że:
7 „intP” oznacza zbiór złożony ze wszystkich punktów wewnętrznych przedziału P, czyli przedział
otwarty, którego końce pokrywają się z końcami przedziału P.