Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

44 1. Ciągi nieskończone
to szacowanie błędu. Później przekonamy się, że w rzeczywistości przy h ≈ 1
dokładność tego przybliżenia rzeczywiście jest nieduża. Inaczej rzecz ma się
z małymi liczbami h. Dla nich to przybliżenie daje dobrą dokładność, co oznacza,
że w przypadku nisko oprocentowanych rachunków bankowych w niedługich
okresach jest obojętne, jak interpretujemy zasady oprocentowania. Inaczej
jest w przypadku długich okresów i rachunków wysoko oprocentowanych. We
wspomnianym wcześniej zagadnieniu ustalania długości szyny kolejowej jako
funkcji temperatury h jest bardzo małe, gdyż zależy od współczynnika rozszerzalności
cieplnej, który jest bardzo mały i od zmiany temperatury, która
nie jest duża. W tej sytuacji stosowanie wzoru dokładnego zamiast prostszego,
przybliżonego po prostu nie ma sensu, gdyż różnice wynikające z wyboru
różnych metod obliczania długości szyny są mniejsze niż dokładność pomiaru!
Stosowanie tego samego, liniowego wzoru przy obliczaniu zmniejszenia masy
pierwiastka promieniotwórczego w czasie nie ma sensu, gdyż w tym przypadku
błąd jest o wiele za duży! Jak można błąd szacować, dowiemy się przy omawianiu
wzoru Taylora. Ogólnie rzecz biorąc, w konkretnych przypadkach może
to być trudne, choć teoretycznie wykonalne.
W dalszej części tego podrozdziału czytelnik napotka nieco bardziej skomplikowane
rozumowania. Studentom gorzej przygotowanym z matematyki, których
ten przedmiot bardzo męczy, autor sugeruje opuszczenie rachunków i obejrzenie
wniosków. Studentów, którzy chcą zrozumieć dokładnie temat, autor
zachęca do przeczytania i zrozumienia całości tekstu. Nie ma potrzeby zapamiętania
szczegółów, natomiast warto się trochę pomęczyć, by zrozumieć, jak
można rozwiązywać niektóre problemy w matematyce. Dodać należy, że po
dokładnym przeczytaniu tego tekstu, będzie można lepiej zrozumieć, co daje
teoria, którą rozwiniemy w dalszej części. Później te oszacowania będziemy
w stanie uzyskać o wiele szybciej i niekiedy będą ( one dokładniejsze.
Teraz wypada nadmienić, że choć e = lim 1 +
1 n
n→∞ n)
, to wyrazy początkowe
tego ciągu źle przybliżają liczbę e ≈ 2,718281828459... , co widać wyraźnie
w podrozdziale 1.3 (przykład 1.4), gdzie podane zostały przybliżenia dziesiętne
pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu i nawet w dziesiątym wyrazie tuż
po przecinku nie wystąpiła cyfra 7. Oznacza to, że ten ciąg nie daje dobrych
przybliżeń liczby e, chociaż jest do niej zbieżny – duża dokładność pojawia
się dopiero dla bardzo dużych n. Pokażemy teraz inny ciąg zbieżny do e x .
Wykażemy mianowicie, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi równość:
e x = lim
n∑
n→∞
j = 0
x j (1
j! = lim + x )
n→∞ 1! + x2
2! + · · · + xn
.
n!
x k
k! . Mo-
(
)
Zwykle granicę lim 1 + x + x2
+ · · · + xk
oznaczamy symbolem
k→∞
2! k!
∞∑
żemy więc napisać e x x
=
k
dla x ∈ R.
k!
k=0
∞∑
k=0