Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

1.11. Funkcje trygonometryczne 55
Chodzi o to, by operować mniejszymi liczbami, co w przypadku jednokrotnego
użycia znaczenia nie ma, ale pH jest używane przez bardzo wielu ludzi wielokrotnie,
więc prostota definicji ma duże znaczenie. Innym przykładem jest np.
skala Richtera trzęsień Ziemi: mierzona jest tam amplituda fal sejsmicznych,
następnie logarytmowana przy podstawie 10; w rezultacie trzęsienie o jeden
stopień silniejsze ma 32-krotnie większą energię (dokładna zależność energii
i wielkości trzęsienia wg. Encyklopedii Britannica nie jest znana). Podobnie
jest z natężeniem dźwięku, również w tym przypadku stosowana jest skala
logarytmiczna. Skala jasności gwiazd też jest logarytmiczna.
Logarytmy wymyślono w XVII w. (John Napier). Chodziło o to, by przy
wykonywaniu obliczeń zastąpić mnożenie dodawaniem ( ln(xy) = ln x + ln y ) .
Stworzono tablice logarytmów. Mnożenie wykonywano tak: znajdowano w tablicach
logarytmy liczb, dodawano je, następnie w tablicach odszukiwano liczbę,
której logarytm równy był sumie logarytmów liczb mnożonych. Podobnie
pierwiastkowano i podnoszono do potęgi ( ln(x y ) = y ln x ) . Tak było do początku
lat osiemdziesiątych XX w., czyli do momentu, w którym komputery
osobiste stały się powszechne. Dziś do obliczeń logarytmy nie są używane, ale
są, i zapewne będą, stosowane różne skale logarytmiczne, o których wspomnieliśmy
wcześniej.
DEFINICJA 1.43 (logarytmy symboli nieskończonych). W dalszym ciągu
stosować będziemy następującą umowę: ln(+ ∞) = ∞, ln 0 = − ∞.
Jest ona zgodna z poprzednio przyjętą definicją: e + ∞ = + ∞ i e − ∞ = 0.
Ważniejsze od tego jest to, że jeśli x n → + ∞, to ln x n → + ∞, jeśli 0 < x n →
→ 0, to ln x n → − ∞.
1.11. Funkcje trygonometryczne
Przypomnimy teraz znane ze szkoły definicje funkcji trygonometrycznych.
Rozpocznijmy od tego, że dosyć powszechnie stosowana jednostka miary kąta
– stopień – jest dosyć sztuczna i nie wszędzie używana. Na statkach stosowano
rumby (rumb to 1 kąta pełnego), po 1789 r (Rewolucja we Francji) ustalono
32
nowy system miar, kąty miały być mierzone w gradusach (kąt prosty miał mieć
100 gradusów).
W rozważaniach teoretycznych najważniejszą jednostką miary kąta jest radian.
Załóżmy, że rozważamy kąty o wierzchołku w początku układu współrzędnych,
których pierwszym ramieniem jest dodatnia półoś pozioma, czyli
zbiór wszystkich punktów postaci (x,0), gdzie x ≥ 0. Kąty odmierzamy przeciwnie
do ruchu wskazówek zegara. Kąt ma t radianów, jeśli drugie ramię
przecina okrąg C o środku w punkcie (0,0) i promieniu 1, w punkcie P takim,
że długość łuku okręgu C zaczynającego się w punkcie (1,0) i kończącego się
w punkcie P jest równa t. Kąt prosty 90 ◦ ma więc miarę równą 1 długości 4