Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

54 1. Ciągi nieskończone
Niech lim x n = + ∞ i niech x n > 0 dla każdego n. Niech y n = ln x n .
n→∞
Z tego, co udowodniliśmy dotychczas, wynika, że lim y n = + ∞ i wobec tego:
n→∞
0 = lim
n→∞
y n
exp(y n ) = lim ln x n
.
n→∞ x n
Wykazaliśmy więc, że dla dostatecznie dużych n liczba ln x n jest znikomo
mała w porównaniu z liczbą x n .
Można bez trudu podać konkretne oszacowania pokazujące, że jeśli x jest
dużą liczbą dodatnią, to iloraz ln x jest bardzo mały. Oto przykład.
x
Wiemy, że ln x ≤ x − 1 dla każdej liczby dodatniej x. Wobec tego:
zatem:
1
2 ln x = ln(√ x) ≤ √ x − 1 < √ x,
ln x
x < 2√ x
x = 2 √ x
.
Dla zobrazowania tego zjawiska zauważmy np., że e 10 > 2,7 10 = 7,29 5 >
> 7 5 = 16807, zaś ln(e 10 ) = 10. Wobec tego:
ln 16807
16807 < ln (e10 )
16807 = 10
16807 < 0,0006.
Mamy też e 100 = (e 10 ) 10 > 16807 10 > 16000 10 = 2 40 ·10 30 = 1024 4 ·10 30 >
> 10 42 . Stąd wynika, że:
ln (10 42 )
10 42 < ln(e100 )
10 42 = 10 −40 =
= 0,000000000000000 000000 000000 000000 000000 1.
Wykazaliśmy więc wcześniej, że logarytm naturalny dużej liczby dodatniej
jest bardzo mały w porównaniu z tą liczbą i dla niedowiarków
zamieściliśmy dwa konkretne przykłady liczbowe, przy czym przeprowadzone
tu obliczenia nie wymagają nawet kalkulatora!
Ta własność logarytmów powoduje, że stosowane są one w wielu sytuacjach,
w których ludzie mają do czynienia z liczbami bardzo dużymi lub bardzo bliskimi
0, zmieniającymi się w dużych zakresach. Zwykle nie są to logarytmy
o podstawie e, lecz o podstawie 10. Na przykład w chemii używana jest wielkość
pH, która jest równa minus logarytmowi (o podstawie 10) ze stężenia jonów
wodorowych w roztworze, chemicy mówią ujemny logarytm ... , mając na
myśli liczbę przeciwną do logarytmu. W czystej wodzie stężenie jonów wodorowych
wynosi około 0,0000001 = 10 −7 , zatem pH czystej wody jest równe 7.